Производная Фреше. Функ.ан.

[Lio]

Привет.
Помогите взять производные Фреше (задачник Треногина по функциональному анализу):

Задача № 23.21.в)
Найти производные следующих операторо в точке u0:
F(u)=u(x)-e^x^u^(^x^) в пространстве С[0,1], u0(x)=0

Задача 23.13)
Найти производные Фреше функционала G(x)=||x|| в вещественном гильбертовом пространстве
(F(x)=(x,x) у меня получилась, помощь нужна только с этой ...)

Заранее спасибо!

[Brukvalub]

Если есть производная по Фреше, то она есть и по Гато, и они совпадают, поэтому обычно сначала вычисляют производную по Гато, что обычно делается проще, чем сразу искать производную по Фреше, а затем для вычисленной производной по Гато проверяют, что она является и производной по Фреше.

[mag_marilyn]

Lio писал(а):

Задача 23.13)
Найти производные Фреше функционала G(x)=||x|| в вещественном гильбертовом пространстве
(F(x)=(x,x) у меня получилась, помощь нужна только с этой ...)

Заранее спасибо!

1)

\[ F'\left( x \right) = 2x \]

.
2)

\[ G\left( x \right) = \sqrt {F\left( x \right)} \]

3) Далее - по теореме о дифференцировании сложной функции.

Добавлено спустя 3 минуты 21 секунду:

Lio писал(а):

Задача № 23.21.в)
Найти производные следующих операторо в точке u0:
F(u)=u(x)-e^x^u^(^x^) в пространстве С[0,1], u0(x)=0

В одном из предыдущих номеров выписана прямо формула, как все считать. Поищите внимательнее - там только подставить нужно правильно.

Добавлено спустя 4 минуты 45 секунд:

Номер 23.20.

Формула:

\[ F'\left( x \right) = f_u \left( {x,u_0 \left( x \right)} \right) \]

[Lio]

Brukvalub писал(а):

Если есть производная по Фреше, то она есть и по Гато, и они совпадают, поэтому обычно сначала вычисляют производную по Гато, что обычно делается проще, чем сразу искать производную по Фреше, а затем для вычисленной производной по Гато проверяют, что она является и производной по Фреше.

Спасибо. Номер 21 по Гато удалось решить. Она действительно оказалась проще.
Правда с 13 все еще засада. Не сходиться с ответом ...

mag_marilyn писал(а):

Lio писал(а):

Задача 23.13)
Найти производные Фреше функционала G(x)=||x|| в вещественном гильбертовом пространстве
(F(x)=(x,x) у меня получилась, помощь нужна только с этой ...)

Заранее спасибо!

1)

\[ F'\left( x \right) = 2x \]

.
2)

\[ G\left( x \right) = \sqrt {F\left( x \right)} \]

3) Далее - по теореме о дифференцировании сложной функции.

К сожалению я не понял. Я так полагаю, что G(x)=||x||=\sqrt{(x,x)\right
По Фреше:
\sqrt{(x+h,x+h)}\right-\sqrt{(x,x)}\right - вот тут я не могу догнать, что с этими корнями делать. Как линейную часть вытащить ...
По Гато кое что выходит, но с ответом не сходиться. У меня получается (x,h)/||x||. В ответах (x,h)/(x,x).

mag_marilyn писал(а):

Добавлено спустя 3 минуты 21 секунду:

Lio писал(а):

Задача № 23.21.в)
Найти производные следующих операторо в точке u0:
F(u)=u(x)-e^x^u^(^x^) в пространстве С[0,1], u0(x)=0

В одном из предыдущих номеров выписана прямо формула, как все считать. Поищите внимательнее - там только подставить нужно правильно.

Добавлено спустя 4 минуты 45 секунд:

Номер 23.20.

Формула:

\[ F'\left( x \right) = f_u \left( {x,u_0 \left( x \right)} \right) \]

Уже решил. Спасибо. Правда по Гато . И я вас опять не понял - что сия формула означает и дает?..

[Zo]

.

Lio писал(а):

По Фреше:
$\sqrt{(x+h,x+h)}\right-\sqrt{(x,x)}\right$ - вот тут я не могу догнать, что с этими корнями делать. Как линейную часть вытащить ...

а как произвдоную композиции отображений. есть ведь такая формула.

Lio писал(а):

У меня получается (x,h)/||x||. В ответах (x,h)/(x,x)

У меня кстати ответ с Вашим сходится (правда это по Фреше сразу) - в Треногине бывают опечатки в ответах. (но лучше подождите еще ответов, а то я в фане немного плаваю )

[mag_marilyn]

Lio писал(а):

Уже решил. Спасибо. Правда по Гато . И я вас опять не понял - что сия формула означает и дает?..

Прочтите номер 23.20. Там общая формула дифференцирования для функционалов над C[a,b]. С ней проще решать последующие примеры.

[Zo]

mag_marilyn писал(а):

$F'\left( x \right) = 2x $

а почему это так? какая-то некорректная запись. В конечномерном вещественном пространстве это так.

[mag_marilyn]

Мораль: использовать определения в лоб - это хорошо. Но иногда лучше постараться схитрить...

[Lio]

Zo писал(а):

.

Lio писал(а):

По Фреше:
$\sqrt{(x+h,x+h)}\right-\sqrt{(x,x)}\right$ - вот тут я не могу догнать, что с этими корнями делать. Как линейную часть вытащить ...

а как произвдоную композиции отображений. есть ведь такая формула.

Буду юзать поиск . Пока я не знаю, что это значит ...

Zo писал(а):

Lio писал(а):

У меня получается (x,h)/||x||. В ответах (x,h)/(x,x)

У меня кстати ответ с Вашим сходится (правда это по Фреше сразу) - в Треногине бывают опечатки в ответах. (но лучше подождите еще ответов, а то я в фане немного плаваю )

Очень приятно слышать

mag_marilyn писал(а):

Lio писал(а):

Уже решил. Спасибо. Правда по Гато . И я вас опять не понял - что сия формула означает и дает?..

Прочтите номер 23.20. Там общая формула дифференцирования для функционалов над C[a,b]. С ней проще решать последующие примеры.

Аха. Т.е. имеется ввиду, что:
dF(x,u0)=F'(u0)h(x)
Спасибо. Попробую разобраться.

mag_marilyn писал(а):

Мораль: использовать определения в лоб - это хорошо. Но иногда лучше постараться схитрить...

Для хитростей не хватает знаний, опыта и навыка. Но надеюсь все впереди =)

[Zo]

Lio писал(а):

Буду юзать поиск Smile. Пока я не знаю, что это значит ...

в Треногине номер 23.12

[Lio]

Zo писал(а):

Lio писал(а):

Буду юзать поиск Smile. Пока я не знаю, что это значит ...

в Треногине номер 23.12

Спасибо.
Всем спасибо за советы! Очень помогли