Разложение по формуле Маклорена

[__ParaPik__]

В учебниках дается по факту, что если заменить в разложении функции $x$ , например,на $x^2$, то получится верное разложение. Можно ли это доказать без разложения функции в общем виде $f(ax^k)$?

[alcoholist]

можно

но так говорить нельзя

[__ParaPik__]

Как говорить нельзя и как можно доказать?

[ewert]

__ParaPik__ в сообщении #669398 писал(а):

то получится верное разложение.

Верное в том смысле, что пересекает гипотенузу эклиптики ровно посередине -- или наоборот?...

Математические утверждения (даже независимо от их истинности или наоборот) формулировать желательно всё-таки по возможности осмысленно.

[__ParaPik__]

Так, как доказать?

[ИСН]

Вы говорите нет. Как доказать - это второй вопрос. Первый - что доказать.

-- Чт, 2013-01-10, 12:31 --

А то мало ли. Скажем, вот есть разложение:

$$\sin x=x-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-\dots$$

В правой части наблюдаю отдельно стоящий x. Подходим к нему с целью

__ParaPik__ в сообщении #669398 писал(а):

заменить в разложении функции $x$ , например,на $x^2$

И?

[__ParaPik__]

Вот вы привели разложение $sin(x)$. Как доказать, что что $sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!}- ...$ без вычисления производной $sin(x^2)$?

[ИСН]

Если некая формула с участием $x$ верна для всех $x$, то вместо $x$ в неё можно подставить что угодно - $t$, $\xi$, или $\text{ы}$. Что-то из этого и произошло.

[__ParaPik__]

Но разложение $sin(x)$ доказывается относительно аргумента $x$, а не относительно, скажем, $x^k$. А в конце доказательства не говорится, что это разложение верно и для других аргументов. Причем, так доказывается во всех источниках, которые я смог найти.

[ИСН]

Разложение - это такая формула. Формула. Если некая формула с участием $x$ верна для всех $x$, то см. предыдущее сообщение.

-- Пт, 2013-01-11, 12:36 --

А то Вы уподобляетесь человеку, который не знает, как разложить на множители $x^2-1$, потому что формула-то подходящая есть, но она доказана только для букв $a$ и $b$.

[Joker_vD]

$\sin(\bullet) = (\bullet)-\frac{(\bullet)^3}{3!}+\frac{(\bullet)^5}{5!}-\dots$ — подставляйте вместо $\bullet$ что хотите.

[bot]

Joker_vD в сообщении #670293 писал(а):

подставляйте вместо $\bullet$ что хотите

Думаете Ваша жирная чёрная точка будет убедительнее буквы Ы?

[ewert]

Тут есть на самом деле некоторый содержательный момент. Формулы Тейлора иногда модно приводить без остаточного члена и даже вовсе без хоть какого-то обоснования: вот, мол, есть некий набор закорючек -- его и жалуйте. И тогда действительно непонятно, какой смысл могут играть формальные подстановки в те формулки. Но если выписывать не только общий член, но и остаток, и при этом аккуратно следить, что получается в результате тех подстановок -- вопросы автоматически снимаются.