Диффур

[Limit79]

$\sqrt{x} y' + 4 =y^2$

Он решен, прошу лишь проверки, а именно проверки выражения $y(x)$ в явном виде.

$\int \frac{dy}{y^2-4} = \int \frac{dx}{\sqrt{x} }$

$\frac{1}{4} \ln \left (\frac{y-2}{y+2} \right) = 2 \sqrt{x} + C$

$\frac{1}{4} \ln \left (\frac{y+2-4}{y+2} \right) = 2 \sqrt{x} + C$

$\frac{1}{4} \ln \left (1 - \frac{4}{y+2} \right) = 2 \sqrt{x} + C$

$ \ln \left (1 - \frac{4}{y+2} \right) = 8 \sqrt{x} + C$

$ 1 - \frac{4}{y+2} = e^{8 \sqrt{x} + C}$

$ - \frac{4}{y+2} = Ce^{8 \sqrt{x}} - 1$

$ \frac{4}{y+2} = 1- Ce^{8 \sqrt{x}} $

$ y+2 = \frac{4}{1- Ce^{8 \sqrt{x}}} $

$ y = \frac{4}{1- Ce^{8 \sqrt{x}}}- 2 $

$ y = \frac{2 + Ce^{8 \sqrt{x}}}{1- Ce^{8 \sqrt{x}}} $

Верно ли?

Сомнения в таком вопросе: при домножении обоих сторон на число, надо ли константу домножать на число? а константу, умноженную на функцию?

Спасибо.

[cool.phenon]

Ну насчёт произвольной константы вот что можно сказать : её можно домножать на всевозможные числа, но от этого она другой константой не станет. Делаем замену,новая константа - это старая,умноженная на число. Всё будет как и раньше,с точностью до обозначения константы.

[Sinoid]

Решение-то верное, только я в таких случаях обозначаю получающиеся константы другими буквами, оставляя $C$ напоследок.

[Cash]

В самом конце ошибка.

$ y = \frac{2 + 2Ce^{8 \sqrt{x}}}{1- Ce^{8 \sqrt{x}}} $

[Limit79]

Cash
Вот, это-то я и имел ввиду. А зачем мы тогда оставляем двойку у константы?

[Someone]

Затем, что $C$ в числителе и $C$ в знаменателе - это одно и то же число. Поэтому нельзя $2C$ в числителе заменить на $C$.

[Limit79]

Someone
Справедливо. Спасибо!