Длина как производная от площади при гомотетичном расширении

[Егор]

Задачка простая, но в учебниках для школьников и первокурсников она мне не попадалась.

Заметим, что длина окружности равна $L(r)=2\pi r$, а площадь круга равна $S(r)=\pi r^2$. При этом $L(r)=S'(r)$. Т. е. при гомотетичном расширении длина границы равна производной от площади.

Задача 1. Так ли это для квадрата? Что нужно взять за $r$?

Задача 2. Найти широкий класс фигур, для которых это так.

Задача 3. Перенести на трёхмерный случай, привести примеры.

[neo66]

Задача 1. За $r$ можно взять половину стороны квадрата. $L=8r,S=4r^2$

Задача 2. Любые "разумные" фигуры. Т.е. имеющие длину границы и площадь.

Задача 3. В общем -то все то же самое. Можно всегда определить такой линейный параметр $r$, что $S(r)=V^{'}(r)$, где $S$ - площадь поверхности, $V$ - объем. Для шара $r$ - это радиус, для куба - половина ребра.

[Егор]

Конечно, Вы правы. Легко показать, что всегда можно выбрать линейный параметр $r$ так, чтобы выполнялось равенство $L(r)=S'(r)$. Лишь бы существовали площадь и длина границы.

А теперь случай, когда параметр $r$ уже выбрали за нас достаточно естественным образом:

Задача 4. Пусть в фигуру Ф можно вложить круг радиуса 1 и нельзя вложить круг большего радиуса. Через $S(r)$ и $L(r)$ обозначим, соответственно, площадь и периметр (длину границы) фигуры, получаемой из фигуры Ф гомотетией с коэффициентом $r$. Описать достаточно широкий класс фигур Ф, для которых $S'(r)=L(r)$.

[neo66]

Егор писал(а):

Задача 4. Пусть в фигуру Ф можно вложить круг радиуса 1 и нельзя вложить круг большего радиуса. Через $S(r)$ и $L(r)$ обозначим, соответственно, площадь и периметр (длину границы) фигуры, получаемой из фигуры Ф гомотетией с коэффициентом $r$. Описать достаточно широкий класс фигур Ф, для которых $S'(r)=L(r)$.

Поскольку уж начал, то и продолжу .
Пусть $L=L(1), S=S(1)$. Тогда $L(r)=Lr,S(r)=Sr^2$ и $Lr=2Sr$, то есть $L=2S$.
Отсюда легко следует, что годятся любые многоугольники, описанные вокруг круга радиуса 1, можно оставлять "куски" окружности этого круга в качестве границы. Возможны и некоторые более экзотические невыпуклые фигуры вроде.

[Егор]

neo66 писал(а):

Поскольку уж начал, то и продолжу .
Пусть $L=L(1), S=S(1)$. Тогда $L(r)=Lr,S(r)=Sr^2$ и $Lr=2Sr$, то есть $L=2S$.

Точно! Спасибо за критерий $L=2S$, я не сообразил.

neo66 писал(а):

Отсюда легко следует, что годятся любые многоугольники, описанные вокруг круга радиуса 1, можно оставлять "куски" окружности этого круга в качестве границы. Возможны и некоторые более экзотические невыпуклые фигуры вроде. ...

Из этих примеров возникает гипотеза: среди рассматриваемого класса фигур (содержащих единичный круг, не содержащих большего круга и имеющих спрямляемую границу) годятся те, у которых граница может быть представлена в виде объединения (конечного или счётного) дуг единичной окружности и отрезков прямых, касательных к единичной окружности. Как доказывать - не представляю.

[нг]

переношу.

[незваный гость]

Егор писал(а):

А теперь случай, когда параметр $r$ уже выбрали за нас достаточно естественным образом:

Самый естественный выбор параметра — это диаметр фигуры, т.е. точная верхняя грань расстояния между ее точками. Полагаю, что для любой фигуры, имеющей периметр диаметр существует.

Очевидно, что для рассматриваемых Вами фигур соотношение диаметра и параметра $r$ будет постоянным (относительно гомотетии).

Поскольку для любой фигуры при гомотетии $S(d) = S(1) d^2$, $L(d) = L(1) d$, то для выполнения Ваших требований необходимо и достаточно, чтобы $L(1) = 2 S(1)$. Т.е. для любой фигуры (имеющей площадь и периметр) существует подобная ей, обладающая нужным Вам свойством.

[Егор]

незваный гость писал(а):

Самый естественный выбор параметра — это диаметр фигуры, т.е. точная верхняя грань расстояния между ее точками. Полагаю, что для любой фигуры, имеющей периметр диаметр существует.

Очевидно, что для рассматриваемых Вами фигур соотношение диаметра и параметра $r$ будет постоянным (относительно гомотетии).

Поскольку для любой фигуры при гомотетии $S(d) = S(1) d^2$, $L(d) = L(1) d$, то для выполнения Ваших требований необходимо и достаточно, чтобы $L(1) = 2 S(1)$. Т.е. для любой фигуры (имеющей площадь и периметр) существует подобная ей, обладающая нужным Вам свойством.

Последнюю Вашу фразу, как и первое сообщение neo66 в этой теме, понимаю следующим образом (буду обозначать коэффициент гомотетии новой буквой, чтобы не путать с диаметром и радиусом):

Если $\Phi$ - квадрируемая фигура со спрямляемой границей, то существует такое $\alpha>0$, что $S'(k)=L(k)$, где $S(k)$ и $L(k)$ - соответственно площадь и периметр фигуры $k\alpha\Phi$.

Но при этом параметр $k$ будет лишь пропорционален диаметру рассматриваемой фигуры $k\alpha\Phi$. Думаю, что параметр $k$ никогда не будет равен диаметру. Другими словами, для фигур единичного диаметра не будет $L=2S$.

А вот для фигур единичного радиуса (имеется в виду максимальный радиус вложенного круга) равенство $L=2S$ иногда выполняется. Любопытно выяснить, когда.

[Zai]

Длина периметра фигуры будет равна производной площади по параметру операции offset (в геометрическом моделировании это создание новой кривой, когда расстояние от образа до новой кривой постоянно). Если угловых точек на кривой ограничивающей фигуру счетное множество.

[Егор]

Zai писал(а):

Длина периметра фигуры будет равна производной площади по параметру операции offset (в геометрическом моделировании это создание новой кривой, когда расстояние от образа до новой кривой постоянно). Если угловых точек на кривой ограничивающей фигуру счетное множество.

Спасибо за сообщение. Слышал такую теорему (очень тесно связанную с Вашим утверждением): если $\Phi$ - выпуклое ограниченное множество, $K$ - единичный круг, $t>0$, то $\mu(\Phi+t K)=\mu(\Phi)+t P(\Phi) + t^2 \mu(K)$, где $P(\Phi)$ - периметр фигуры $\Phi$, $\mu$ - площадь фигуры. В задачнике
Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. — Теоремы и задачи функционального анализа"
это задача 276 (параграф "Топология, выпуклость и полунормы").

[neo66]

Zai писал(а):

Длина периметра фигуры будет равна производной площади по параметру операции offset ...

А можно поподробней, что это означает?

[Zai]

Параметр операции offset это расстояние от исходной кривой до новой кривой. Если Ваша фигура выпуклый многоугольник то новый многоугольник будет составлен из пересечений линий, отстояших от старых линий на расстояние $\delta например с внешней стороны. Все компьютерные пакеты по геометрическому моделированию сложных деталей в технике имеют эту встроенную утилиту. В случае треугольника новая фигура будет подобна исходной, в случае четырехугольника не всегда.

[незваный гость]

Егор писал(а):

Последнюю Вашу фразу, как и первое сообщение neo66 в этой теме, понимаю следующим образом (буду обозначать коэффициент гомотетии новой буквой, чтобы не путать с диаметром и радиусом):

Пусть у нас есть фигура $\Phi$, имеющая площадь $S$ и периметр $L$. Давайте попробуем подобрать нужный нам параметр. При гомотетии с коэффициентом $a$ имеем $S(a) = S a^2$ и $L(a) = L a$. Нам нужно $2 S(a) = L(a)$, давайте возьмем $a = \frac {L}{2S}$. Рассмотрим же $\Phi^* = \Phi(\frac{L}{2S})$. $L^* = \frac{L^2}{2S}$, $S^* = \frac{L^2}{4S}$, и нужное Вам свойство становится очевидным (при композиции гомотетий их коэффициенты перемножаются).

[Егор]

Zai писал(а):

Если Ваша фигура выпуклый многоугольник то новый многоугольник будет составлен из пересечений линий, отстояших от старых линий на расстояние $\delta$ например с внешней стороны. [...] В случае треугольника новая фигура будет подобна исходной, в случае четырехугольника не всегда.

Долго думал, нужно ли "скруглять" углы у новой фигуры, т. е. заменять их на дуги окружности. Теперь дошло, что Ваше утверждение о производной будет верным и без скругления (как Вы рассказали), и со скруглением (как в задачнике Кириллова и Гвишиани).

незваный гость писал(а):

Пусть у нас есть фигура $\Phi$, имеющая площадь $S$ и периметр $L$. Давайте попробуем подобрать нужный нам параметр. При гомотетии с коэффициентом $a$ имеем $S(a) = S a^2$ и $L(a) = L a$. Нам нужно $2 S(a) = L(a)$, давайте возьмем $a = \frac {L}{2S}$. Рассмотрим же $\Phi^* = \Phi(\frac{L}{2S})$. $L^* = \frac{L^2}{2S}$, $S^* = \frac{L^2}{4S}$, и нужное Вам свойство становится очевидным (при композиции гомотетий их коэффициенты перемножаются).

Спасибо (это было понятно). Теперь интересует другой вопрос: какой должна быть фигура $\Phi$, чтобы $S'(k)=L(k)$, где $S(k)$ и $L(k)$ - площадь и периметр фигуры $k\Phi$, и при этом чтобы параметр $k$ был радиусом фигуры $k\Phi$. (Почему именно радиусом? Потому что эта характеристика кажется самой естественной после диаметра, а диаметр не годится.) Проще говоря, описать класс таких фигур $\Phi$ с единичным радиусом, для которых $L=2S$.