Ожидание произведения 4х нормально распределенных сл. вел.

[finanzmaster]

Пусть

$$ A,B,C,D $$

- нормально распределенные зависимые случайные величины.
Попарные коэффициенты корреляции известны.

Требуется найти мат. ожидание их произведения, т.е.

$$ IE\left[ {A \cdot B \cdot C \cdot D} \right] $$

Вот здесь нашел (без всякого обоснования) такую фразу: The expectation of a product of normally distributed random variables is the sum of products of their pair correlations.

Так ли это??

...

Да, похоже что так, судя по здешней информации

[PAV]

Похоже на правду, но надо убедиться. Строго говоря, задачу нужно решать так. Нужно взять матрицу ковариаций и привести ее к диагональному виду. Это даст линейное преобразование имеющегося вектора, результат которого будет вектор с независимыми (и нормально распределенными) компонентами. После этого задача решается просто.

Подробности можно прочитать в учебнике Ширяева "Вероятность" в главе "Гауссовские системы", в которой рассматривается как раз такое преобразование многомерных нормальных случайных векторов.

[Zo]

finanzmaster, то что вы написали, верно для вектора, у компонент которого нулевые мат. ожидания. Да и еще будет сумма прозведений не корреляций, а ковариаций.

[PAV]

Может быть и для произвольного, поскольку мат. ожидания входят в ковариацию. Надо посчитать и проверить.

[Zo]

PAV, в случае двух компонент: $E(AB)=cov(A,B)+EA\cdot EB$

[PAV]

Согласен

[finanzmaster]

Zo писал(а):

finanzmaster, то что вы написали, верно для вектора, у компонент которого нулевые мат. ожидания.

К счастью, в моем случае это так

[mag_marilyn]

finanzmaster писал(а):

Zo писал(а):

finanzmaster, то что вы написали, верно для вектора, у компонент которого нулевые мат. ожидания.

К счастью, в моем случае это так

Если считать, что формула

E\left[ x_{i}x_{j}x_{k}x_{n}\right] = \sigma _{ij}\sigma _{kn}+\sigma _{ik}\sigma _{jn}+\sigma _{in}\sigma _{jk}

верна, и если
E\left[ X\right] = \mu, то для нахождения начальных моментов их можно выразить через центральные, а каждый из центральных моментов найти по аналогичным формулам.

Добавлено спустя 25 минут 7 секунд:

PAV писал(а):

Похоже на правду, но надо убедиться. Строго говоря, задачу нужно решать так. Нужно взять матрицу ковариаций и привести ее к диагональному виду. Это даст линейное преобразование имеющегося вектора, результат которого будет вектор с независимыми (и нормально распределенными) компонентами. После этого задача решается просто.

Подробности можно прочитать в учебнике Ширяева "Вероятность" в главе "Гауссовские системы", в которой рассматривается как раз такое преобразование многомерных нормальных случайных векторов.

Скажите, Уважаемый, а вот вы берете и из 4-х нормальных величин, зависимых между собой, составляете вектор и говорите, что он гауссовский. А это правомерно, строго говоря?

[PAV]

mag_marilyn писал(а):

Скажите, Уважаемый, а вот вы берете и из 4-х нормальных величин, зависимых между собой, составляете вектор и говорите, что он гауссовский. А это правомерно, строго говоря?

Нет, не правомерно. Условие гауссовости вектора нужно потребовать дополнительно.

[mag_marilyn]

PAV писал(а):

mag_marilyn писал(а):

Скажите, Уважаемый, а вот вы берете и из 4-х нормальных величин, зависимых между собой, составляете вектор и говорите, что он гауссовский. А это правомерно, строго говоря?

Нет, не правомерно. Условие гауссовости вектора нужно потребовать дополнительно.

А условие какое? Невырожденности ковариационной матрицы, т.к. её определитель фигурирует в плотности?

[Zo]

Добавлено спустя 1 минуту 29 секунд:

mag_marilyn писал(а):

А условие какое? Невырожденности ковариационной матрицы, т.к. её определитель фигурирует в плотности?

а причем здесь невырожденность?

Добавлено спустя 4 минуты 32 секунды:

finanzmaster, Вы знаете, оказывается формула, приведенная Вами легко выводится, E(ABCD) - это будет коэффициент разложения характеристической функции исходного вектора в ряд Тейлора и умноженного на некоторый коэффициент (к сожалению, сам я не догадался - подсмотрел у Ширяева).
Ведь в одномерном случае $E(\xi)=\left.\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial t}\varphi(t)\right|_{t=0}$, а в 4-х мерном $E(ABCD)=\left.\frac{1}{i^4}\frac{\partial^4}{\partial t_1\partial t_2 \partial t_3 \partial t_4}\varphi(t)\right|_{t_i=0,\,i=\overline{1,4}}$

[finanzmaster]

Всем большое спасибо!

Но mag_marilyn задал интересный вопрос, который пока остается открытым

Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд:

mag_marilyn писал(а):

А условие какое? ...

[PAV]

Разберитесь с тем, как все-таки задается многомерное нормальное распределение. Возможно, ответ более сложный. Вот пример. Допустим, $X_1,X_2,X_3,X_4$ - независимые нормальные величины, а Ваши величины получаются из данных следующим линейным преобразованием: $A=X_1$, $B=X_1+X_2$, $C=X_1+X_3$, $D=X_1+X_4$. Тогда в выражение $M(A\cdot B\cdot C\cdot D)$ будет входить четвертый момент $X_1$.

[mag_marilyn]

Zo писал(а):

Добавлено спустя 1 минуту 29 секунд:

mag_marilyn писал(а):

А условие какое? Невырожденности ковариационной матрицы, т.к. её определитель фигурирует в плотности?

а причем здесь невырожденность?

Добавлено спустя 4 минуты 32 секунды:

finanzmaster, Вы знаете, оказывается формула, приведенная Вами легко выводится, E(ABCD) - это будет коэффициент разложения характеристической функции исходного вектора в ряд Тейлора и умноженного на некоторый коэффициент (к сожалению, сам я не догадался - подсмотрел у Ширяева).
Ведь в одномерном случае $E(\xi)=\left.\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial t}\varphi(t)\right|_{t=0}$, а в 4-х мерном $E(ABCD)=\left.\frac{1}{i^4}\frac{\partial^4}{\partial t_1\partial t_2 \partial t_3 \partial t_4}\varphi(t)\right|_{t_i=0,\,i=\overline{1,4}}$

Спасибо большое за информацию! Все таки незя забывать о простых свойствах характеристических и производящих функций.

А по поводу невырожденности я думал из за плотности многомерного распределения:

\[ f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {\left( {2\pi } \right)^2 \det \left( K \right)} }}\exp \left\{ { - \frac{1}{2}\left( {x - m} \right)^T K^{ - 1} \left( {x - m} \right)} \right\} \]

В плотности фигурирует детерминант и обращение ков. матрицы. Получается необходимым условием для того, чтобы нормальные величины образовывали нормальный вектор, является их линейная независимость.

А достаточное условие?

[PAV]

Плотность имеет такой вид только для невырожденных (или собственных) многомерных нормальных распределений. Но существуют и вырожденные. Например, если $X$ - нормально распределенная с.в., то вектор $(X,X,X,X)$ тоже имеет многомерное нормальное распределение, только вырожденное.