Эл-т док-ва т. Кантора-Бернштейна

[noizy]

Конкретно интересует один кусок доказательства, приведённого авторами А.Х. Шень, Н.К. Верещагин
Выглядит он так:

Заметим, что пересечение всех множеств $A_i$ вполне может быть непусто: оно состоит из тех элементов, у которых можно сколько угодно раз брать $f$ - прообраз. Теперь можно сказать так: множество $A_0$ мы разбили на непересекающиеся слои $C_i = A_i $ \ $ A_{i+1}$ и на сердцевину $C= \bigcap _i A_i.$

Конкретно говоря, интересует условие, почему именно может существовать сердцевина $C$
Остальная часть доказательства мне понятна
Полное доказательство:
На сайте(3. Лекция: Теорема Кантора - Бернштейна, страницы 1-2)
или
Скачать учебник(стр.19)
Экзамен 10ого
Заранее спасибо

[apriv]

noizy в сообщении #668734 писал(а):

Конкретно говоря, интересует условие, почему именно может существовать сердцевина $C$

А почему нет? Возьмите два непустых равномощных множества $A$ и $B$, биекции между ними $\varphi\colon A\to B$, $\psi\colon B\to A$, тогда $A_i=A$ для всех $i$, и сердцевина совпадает с $A$.

[noizy]

[quote="apriv в сообщении #668766"][/quote]
И из каких элементов составляется $C$ в конкретном случае (по предположению), т.е. из от каких элементов можно бесконечно брать прообраз?

[apriv]

По определению $C$ является пересечением всех $A_i$. Если $A_i=A$ для всех $i$, то и $C=A$.

[noizy]

apriv в сообщении #668806 писал(а):

По определению $C$ является пересечением всех $A_i$. Если $A_i=A$ для всех $i$, то и $C=A$.

Либо я чего-то совсем не понимаю, либо мыслю не в ту сторону
$A_i$ $\subset$ $A$, для которых $|A_i| = |A|$, но не обязательно равны $A_i = A$

[ewert]

noizy в сообщении #668818 писал(а):

но не обязательно равны $A_i = A$

Но возможно -- этого и достаточно.

Ладно, вот пример, более соответствующий тем картинкам. Пусть $A_0=[-1;1],\ f(x)=x$ при $x<0$ и $f(x)=\frac{x}2$ при $x\geqslant0$. Что здесь будут представлять из сея $A_i,\;C_i$ и $C$?

Да, а самое главное -- вопрос изначально был праздным. Даже если бы фактически того $C$ и не могло бы существовать -- проще допустить его существование, чем пытаться опровергнуть.

[noizy]

ewert в сообщении #668822 писал(а):

Но возможно -- этого и достаточно.
...

Спасибо большое, просто преподаватель требовательный, вот и разбираю каждый переход
Да, в сердцевине $[-1;0]$, если правильно понимаю