Снова геометрия

[xmaister]

Пусть у нас есть набор $\langle X,\mathcal{A},\mathcal{B}\rangle$, где $X$- некоторое множество, $\mathcal{A},\mathcal{B}$- семейства его подмножеств, для которых выполнены 6 аксиом проективного пространства. Чтобы была задана геометрия нужно указать группу преобразований $X$. Можно ли такую группу преобразований построить по тройке $\langle X,\mathcal{A},\mathcal{B}\rangle$?

[BVR]

Интересно.
6 аксиом - это требования к отношению инцидентности (принадлежности) для элементов $X$, $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$.
Ну, значит, это такие преобразования множества $X$, которые сохраняют это самое отношение инцидентности и элементы множества $\mathcal{A}$ переводят в элементы этого же множества и также действуют на элементы множества $\mathcal{B}$.
А что Вы понимаете под "построить группу преобразований"? Мне кажется, что для абстрактного $X$ сказать что -то более конкретное про группу автоморфизмов такого проективного пространства не получится...

(Оффтоп)

Есть книжка Картеси "Конечные геометрии", там подробно рассматриваются проективные геометрии на конечных множествах и (если мне не изменяет мой склероз) обсуждается вопрос о группах преобразований этих конечных геометрий - но я ее не могу найти сейчас в шкафах из-за перестановки в квартире. Мне кажется, что там есть мысли по Вашему вопросу для конечных множеств

[xmaister]

BVR в сообщении #668702 писал(а):

6 аксиом - это требования к отношению инцидентности (принадлежности) для элементов $X$, $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$.

Да, по сути это условие на это самое отношение.

BVR в сообщении #668702 писал(а):

А что Вы понимаете под "построить группу преобразований"?

Я хочу понять, какое отношение эти аксиомы имеют к геометрии (пара $\langle X,G\rangle$). Значит такая группа существует и единственна? А можно ли по заданной $\langle X,\mathcal{A},\mathcal{B}\rangle$ построить тело $R$, для которого группа преобразований $G\cong\mathrm{PGL}_3(R)$?

[apriv]

xmaister в сообщении #668715 писал(а):

Я хочу понять, какое отношение эти аксиомы имеют к геометрии (пара $\langle X,G\rangle$). Значит такая группа существует и единственна? А можно ли по заданной $\langle X,\mathcal{A},\mathcal{B}\rangle$ построить тело $R$, для которого группа преобразований $G\cong\mathrm{PGL}_3(R)$?

Можно, если в аксиомы входит аксиома Дезарга (она дает ассоциативность умножения в теле). Если выполняется еще и аксиома Паппа — тело окажется коммутативным.

[BVR]

А в проективном пространстве теорема Дезарга следует из аксиом и, более того, выполняется на любой плоскости трехмерного проективного пространства. А вот на проетивной плоскости это самое утверждение не следует из аксиом (см. Р. Хартсхорн "Основы проективной геометрии"). То есть всегда существует нужное тело, правильно?

[apriv]

Я ничего не понял. Действительно, в пространстве размерности хотя бы 3 аксиома Дезарга выполняется автоматически, а на плоскости не выполняется. Мораль отсюда такая: бывает проективная плоскость над чем-нибудь неассоциативным (например, над октонионами), а вот проективного пространства над этим уже не бывает.

[BVR]

apriv в сообщении #668865 писал(а):

Я ничего не понял

Ну, если я правильно понял суть вопроса, он состоял в следующем: пусть дана тройка $\langle X,\mathcal{A},\mathcal{B}\rangle$, на которой выполняются аксиомы проективного пространства, можно ли построить (существует ли) тело, группа автоморфизмов которого совпадает с группой преобразований данного проективного пространства.
Вы сказали:

apriv в сообщении #668767 писал(а):

Можно, если в аксиомы входит аксиома Дезарга (

Но в данном случае аксиома Дезарга является следствием этих 6-ти аксиом. Значит, такое тело существует, о чем я и переспросил.
ЗЫ. Приношу извинения xmaisterу, если неправильно понял его вопрос и отклонился от темы

[apriv]

BVR в сообщении #668899 писал(а):

Но в данном случае аксиома Дезарга является следствием этих 6-ти аксиом. Значит, такое тело существует, о чем я и переспросил.

Смотря что Вы называете «аксиомами проективного пространства». Повторю — существует проективная плоскость над неассоциативной алгеброй октонионов.

[xmaister]

apriv в сообщении #668907 писал(а):

Смотря что Вы называете «аксиомами проективного пространства».

Я понимаю это следующим образом. Пусть задано $\langle X,\mathcal{A},\mathcal{B}\rangle$ $X$- некоторое множество, $\mathcal{A},\mathcal{B}$- семейства его подмножеств, т.ч.:
1. Две точки принадлежат одной и только одной прямой
2. Три неколлинеарные точки принадлежат одной и только одной плоскости
3. Прямая и плоскость имеют по меньшей мере одну общую точку
4. Две плоскости имею по меньшей мере одну общую точку
5. Существует четыре некомпланарные точки, любые три из которых не коллинеарны
6. Прямая содержит по меньшей мере три точки.

[apriv]

То есть, трехмерное пространство? Тогда, конечно, аксиома Дезарга из них следует. Только группа преобразований у него все-таки $\mathrm{PGL}_4$, а не $\mathrm{PGL}_3$.

[BVR]

Всё же $\mathrm{PGL}_3$. Это факторгруппа группы обратимых 4х4 матриц по подгруппе ${\lambda I}$

[apriv]

BVR в сообщении #669893 писал(а):

Всё же $\mathrm{PGL}_3$. Это факторгруппа группы обратимых 4х4 матриц по подгруппе ${\lambda I}$

Фактор-группа группы $\mathrm{GL}_4$ по центру обычно обозначается через $\mathrm{PGL}_4$, с этим ничего не поделаешь.

[BVR]

Понятно.