Пополнение пространства.

[max(Im)]

Пространство $X=\{x:\mathbb{R} \to \mathbb{R} | x(t) - \text{непрерывна в } \mathbb{R},\,x(t)=O(t^6) \text{ при }t \to \pm\infty \}$ не полно, если метрика задана как

$$ \rho(x,y)=\sup\limits_{t\in\mathbb{R}} \left|\dfrac{x(t)-y(t)}{t^6+6^t}\right|. $$

Нужно построить пополнение. Я предполагаю, что пополнением тут будет

$$ \tilde{X}=\{x:\mathbb{R} \to \mathbb{R} | x(t) - \text{непрерывна в } \mathbb{R},\,x(t)=O(6^t) \text{ при }t \to +\infty,\,x(t)=O(t^6) \text{ при }t \to -\infty \} $$

Или я не прав? Какое тогда пополнение?
В моем случае, очевидно, что $X \subset \tilde X. $ При этом $X$ всюду плотно в $\tilde {X}.$
Но как показать, что $\tilde{X}$ с метрикой $\rho$ полно?

[SpBTimes]

Теперь полно. Проверяйте

[g______d]

Рассмотрите отображение из $\tilde X$ в $C(\mathbb R)$, $x(t)\mapsto\frac{x(t)}{ t^6+6^t}$.

(под $C$ я подразумеваю пространство непрерывных ограниченных функций с метрикой $\rho'(x,y)=\sup\limits_{\mathbb R}|x(t)-y(t)|$) .