Первый замечательный предел.

[main.c]

http://cs6296.userapi.com/u102060840/docs/be09409b7a95/Lektsii_po_matan_IU9_1sem.pdf, здесь на странице 38 выводится первый замечательный предел. Вывод полностью ясен, не ясно одно, зачем считать предел синуса, как предел промежуточной функции, сразу написать, что $\lim_{x \to 0} \sin x = 0 $ нельзя?.....и уж тем более предел косинуса, который там считается через тригонометрическую формулу. В общем это колдовство с пределами обязательно или можно сразу писать результат? Вопрос возник потому, что это шаманство применяется как минимум в 3 учебниках, что я посмотрел.

[arseniiv]

main.c в сообщении #668586 писал(а):

сразу написать, что $\lim_{x \to 0} \sin x = 0 $ нельзя?

А что, к тому моменту уже показано, что синус непрерывен в нуле? $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$ тогда и только тогда, когда $f$ непрерывна в $a$.

(Оффтоп)

А содержимое того файла — ужас. Для такой вёрстки таких текстов даже Word будет слишком хорош.

[bot]

arseniiv в сообщении #668618 писал(а):

А что, к тому моменту уже показано, что синус непрерывен в нуле?

Естественно нет, к этому моменту ещё и определения непрерывности нету.

[main.c]

arseniiv в сообщении #668618 писал(а):

main.c в сообщении #668586 писал(а):

сразу написать, что $\lim_{x \to 0} \sin x = 0 $ нельзя?

А что, к тому моменту уже показано, что синус непрерывен в нуле? $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$ тогда и только тогда, когда $f$ непрерывна в $a$.

(Оффтоп)

А содержимое того файла — ужас. Для такой вёрстки таких текстов даже Word будет слишком хорош.

Ну если быть таким педантичным, тогда и для $x$ писать, что предел равен $0$ нельзя, потому что к тому моменту даже не дано понятие непрерывности. Выходит, что в одном месте пишут строго, в другом не строго, не знаю как Вам, а мне кажется такой подход неправильным.

[SpBTimes]

Это не педантичность, а строгость изложения.
А на счет $x$, то когда вы пишите, что $x\to 0$, вы именно и подразумеваете, что $x \to 0$. Ну или достаточно взять $\delta = \epsilon$

[bot]

Это даже не строгость, а просто необходимый элемент доказательства. Пусть докажет иным способом, что $\lim\limits_{x\to 0}\sin x =0$ и вопрос будет исчерпан.

main.c в сообщении #668710 писал(а):

Ну если быть таким педантичным, тогда и для $x$ писать, что предел равен $0$ нельзя

Никто кроме Вас этого и не пишет. Этот фрагмент в контексте предела функции (отличной от тождественной) не имеет самостоятельного смысла.