Задача на производящие функции

[artfin]

Добрый день!
Возникли сложности со следующей задачей. Задана рекуррентная последовательность $g_n = g_{n-1} +\frac{1}{g_{n-1}}$ и $g_0 = 50$, найти ближайшее целое к $g_{2010}$.
Пусть $G(z) = \sum_n{g_n z^n} $.
$G(z) = \sum_n{g_{n-1} z^n} + \sum_n{\frac{z^n}{g_{n-1}}}+[n=50]=zG(z) + z\cdot \frac{\sum_n{z^{2n}}}{G(z)}+50z$
$G(z) =z\cdot G(z) + \frac{z}{1-z^2}\cdot\frac{1}{G(z)} + 50z$
Выражаем $G(z)$:
$G(z) = \frac{50z \pm\ \sqrt{50^2 z^2 + \frac{4z}{1+z}}}{2(1-z)}$
Если теперь рассмотреть коэффициенты в разложении $G(z)$ в степенной ряд вокруг $z=0$, то они совсем не сходятся с членами рекуррентного ряда, полученными вручную. Вопрос: почему?
И как мне найти $g_{2010}$

[alcoholist]

откуда там получилось $\frac{1}{G(z)}$?

[artfin]

Вот так получилось:
$\sum_n {\frac{z^n}{g_{n-1}}} = z \cdot \sum_n{\frac{z^n}{g_n}} = z \cdot \sum_n {\frac{z^n \cdot z^n}{g_n \cdot z^n}} = z \cdot \frac{\sum_n{z^{2n}}}{\sum_n{g_n \cdot z^n}} = z \cdot \frac{\sum_n{z^{2n}}}{G(z)} = \frac{z}{1-z^2} \cdot \frac{1}{G(z)}$

[alcoholist]

artfin

разве сумма частных равна частному сумм???

-- Пн янв 07, 2013 14:22:39 --

задача вовсе не на производящие функции, а на оценки роста последовательности

[artfin]

Ой, действительно. И как это обойти?