Всё оказалось даже проще, чем я думал

[Denis Russkih]

Пришла в голову ещё одна интересная мысль.

В этот раз я обойдусь без пафосных речей, так как годовые запасы тщеславия и ложной скромности выгрузил в предыдущей своей теме. Сразу перейду к делу.


1. Доказательство для случая n=3.

Вот она, наша красавица:

(1)    $a^3 + b^3 = c^3$

Давайте представим числа $b$ и $c$ как сильно деформированное $a$, "растянутое" или "ужатое". Это легко можно сделать следующим образом:

(2)    $a \in N$

(3)    $b = pa$, $где p \in R$

(4)    $c = qa$, $где q \in R$

Тогда выражение примет вид:

(5)    $a^3 + (pa)^3 = (qa)^3$

(6)    $a^3 + p^3a^3 = q^3a^3$

(7)    $(1 + p^3)a^3 = q^3a^3$

(8)    $(1 + p^3) = q^3$

(9)    $q = \sqrt[3] {p^3 + 1}$

Получается следующая картина:

(10)    $a^3 + (pa)^3 = (\sqrt[3] {p^3 + 1} \cdot a)^3$

Дальше возможны два варианта:

а) Допустим, $p \in N$. Тогда корень кубический из числа, на единицу большего, чем куб натурального числа, не может являться натуральным числом. А значит, коэффициент $q \notin N$.

б) Допустим, $p \notin N$. Тогда его куб тоже не является натуральным числом, и прибавление единицы не может сделать его натуральным числом. А кубический корень из числа, не принадлежащего ряду натуральных чисел, также не может являться натуральным числом. Следовательно, $q \notin N$.

Таким образом, мы получаем, что при натуральном $a$ как минимум одно из двух других чисел не будет являться целым.

Великая теорема Ферма доказана для случая $n = 3$.


2. Доказательство для всех натуральных n>2.

AKM:

Эта часть сообщения удалена как нарушающая правила этого раздела.

Доказательства для $n>3$ рассматриваются после принятия участниками доказательства для $n=3$.

Выводы.

"На третий день Зоркий Глаз обнаружил, что в камере нет одной стены".


Зверски хочется спать, и уже нет запала нести ту же вдохновенную пургу, что и в прошлый раз. :) Просто подведу итог, что мы с вами только что окончательно доказали Великую теорему Ферма. Закрыли этот вопрос навсегда. Вряд ли можно придумать ещё более короткое доказательство. Решение задачи оказалось не простым, а очень простым. Занимает несколько строчек. Я бы сказал, что это чудо, но лично мне чудо видится в другом: почему до этого раньше никто не додумался?..

Кстати, моё предыдущее ошибочное доказательство ВТФ, пусть оно и оказалось пригодным лишь для очень специфического набора чисел, всё же сослужило хорошую службу. Именно оно направило мои мысли в верном направлении. :) Фактически, мне оставалось только приспособить найденный метод доказательства для всех возможных значений $a$, $b$ и $c$.

Спасибо за внимание!

[alexo2]

Да... Тяжелый случай - хочется все-таки "попасть в учебники"!?
Вам же не чужда определенная логика. Скажите честно, Вы и вправду считаете, что за 370 лет ни у кого не возникало такого варианта "доказательства"?
Боюсь, тут и комментировать нечего - а Вам действительно лучше выспаться.
Длительные все же на Руси праздники...

[Deggial]

Denis Russkih в сообщении #668244 писал(а):

Дальше возможны два варианта:

а) Допустим, $p \in N$. Тогда корень кубический из числа, на единицу большего, чем куб натурального числа, не может являться натуральным числом. А значит, коэффициент $q \notin N$.

б) Допустим, $p \notin N$. Тогда его куб тоже не является натуральным числом, и прибавление единицы не может сделать его натуральным числом. А кубический корень из числа, не принадлежащего ряду натуральных чисел, также не может являться натуральным числом. Следовательно, $q \notin N$.

Не рассмотрен случай рациональных $p,q$. Сравните с пифагоровым треугольником:

$$3^2+4^2=5^2$$

$$1+\left(\frac{4}{3}\right)^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2$$

$$q=\frac{5}{3}=\sqrt{1+\left(\frac{4}{3}\right)^2}$$

Проще говоря, Вы не использовали условие $n=3$, значит доказательство неверно.

[Denis Russkih]

Deggial, извините, что-то я не понимаю Вашего "опровержения" (возможно, потому, что всё ещё не выспался :)).

Очень прошу, нельзя ли объяснить подробнее, что и откуда вы получили? Меня удивило, что Вы взяли цитату, относящуюся к кубам, а пример привели для квадратов. У квадратов дела идут замечательно. Я никогда не утверждал, что корень квадратный из суммы квадрата с единицей не может быть натуральным числом.

В приведённой цитате я вполне чётко говорю, что корень кубический из числа, на единицу большего, чем куб натурального числа, не может являться натуральным числом. Вы можете привести пример обратного для кубов?

И я специально упомянул аж два раза, что $p \in R$ и $q \in R$. После этого странно слышать от Вас, что я не рассмотрел случай рациональных $p$ и $q$. Не хочу показаться невежливым, но может быть, это Вам следует присмотреться получше?

Я очень благодарен Вам за уделённое мне время, но Вы в своём опровержении явно перескочили сразу через несколько ступенек. Я не понимаю, откуда Вы вышли и куда пришли, и поэтому у меня помимо воли складывается впечатление, что Вы просто недостаточно внимательно ознакомились с моим доказательством.

[anwior]

Denis Russkih в сообщении #668244 писал(а):

Пришла в голову ещё одна интересная мысль.

Начинай вести статистику идеям, мыслям!
Через год побьеш рекорд Виктора Сорокина. Его статистика (по собственному признанию) перевалила за 5000! Не забывай, что нужно всякий вхожий сюда случай подкреплять идеи Гб - ми простынями наворочек.

[Denis Russkih]

anwior, Вы довольно смело делаете прогнозы, если учесть, что пока я опубликовал здесь всего две идеи, причём вторая является логическим развитием первой. Не маловато ли для статистики и прогнозирования?

Может быть, вместо иронических замечаний, Вы могли бы сказать что-нибудь по существу вопроса? Приведённое мной решение очень простое, самое внимательное ознакомление с ним займёт не больше пяти-десяти минут. Неужели Вам совсем не любопытно, что можно втиснуть в такой небольшой объём? :)

"Гигабайтные простыни наворочек" как раз с большой вероятностью содержат в себе ошибку, потому что чем больше формул, тем легче что-то упустить. У меня же ошибке втиснуться просто негде. Всё просто, как табуретка.

[lek]

Denis Russkih в сообщении #668244 писал(а):

б) Великая теорема Ферма доказана для случая $n=3$.

Не доказана. Случай b) не исследован, поэтому ситуация типа (целое+нецелое=нецелое) в тождестве (10) не исключена.

А вообще, кончайте заниматься ерундой и почитайте Постникова...

[alexo2]

Denis Russkih в сообщении #668277 писал(а):

У меня же ошибке втиснуться просто негде. Всё просто, как табуретка.

Покажите табуреткуВаши рассуждения для
$3^3+4^3+5^3=6^3$

[nnosipov]

Denis Russkih в сообщении #668277 писал(а):

Дальше возможны два варианта:

Действительно, так и есть.

Denis Russkih в сообщении #668244 писал(а):

а) Допустим, $p \in N$. Тогда корень $n$-ной степени из числа, на единицу большего, чем $n$-ная степень натурального числа, не может быть натуральным числом. Значит, $q \notin N$.

Правильно.

Denis Russkih в сообщении #668244 писал(а):

б) Допустим, $p \notin N$. Тогда его куб тоже не является натуральным числом, и прибавление единицы не может сделать его натуральным числом. А кубический корень из числа, не принадлежащего ряду натуральных чисел, также не может являться натуральным числом. Следовательно, $q \notin N$.

И опять правильно.

Denis Russkih в сообщении #668244 писал(а):

Мы получили, что при натуральных $a$ и $n$ как минимум одно из двух других чисел не будет являться целым.

Видимо, Вы намекаете на число $c$, которое равно $qa$. В этом произведении число $q$ не является натуральным, а число $a$, наоборот, является натуральным. Но откуда следует, что их произведение --- тоже не натуральное число?

-- Пн янв 07, 2013 15:11:38 --

lek в сообщении #668283 писал(а):

А вообще, кончайте заниматься ерундой и почитайте Постникова...

Очень хороший совет. Настоятельно рекомендую ему последовать.

[vorvalm]

Denis
1) Нет определения числам $b,\;c.$
2) У вас $p\in R,\;q\in R,$ тогда причем здесь
вариант а) $p\in N.$
3) Вариант б) $p\notin N$? надо доказать.
4) Числа $p,\;q$ - коэффициенты, пока они не связаны друг с другом.
Как только вы их "загоняете" в уравнение, они становятся переменными.

[Denis Russkih]

nnosipov в сообщении #668286 писал(а):

Правильно.

nnosipov в сообщении #668286 писал(а):

И опять правильно.

Благодарю от всей души! Вижу, Вы первый, кто внимательно прочёл моё доказательство.

nnosipov в сообщении #668286 писал(а):

Denis Russkih в сообщении #668244 писал(а):

Мы получили, что при натуральных $a$ и $n$ как минимум одно из двух других чисел не будет являться целым.

Видимо, Вы намекаете на число $c$, которое равно $qa$. В этом произведении число $q$ не является натуральным, а число $a$, наоборот, является натуральным. Но откуда следует, что их произведение --- тоже не натуральное число?

Интересный вопрос, должен признать! Спасибо, что указали мне на этот момент. Возьму новую паузу на обдумывание. :)


Всем остальным тоже признателен за комментарии. У меня сейчас нет времени отвечать, но я всё внимательно прочитал.

[AKM]

Denis Russkih в сообщении #668244 писал(а):

В этот раз я обойдусь без пафосных речей,

Вам это не удаётся:

Denis Russkih в сообщении #668244 писал(а):

Вот она, наша красавица:

Denis Russkih в сообщении #668244 писал(а):

Просто подведу итог, что мы с вами только что окончательно доказали Великую теорему Ферма

Также замечу, что то, что Вам кажется "пафосом", многими воспринимается как паясничание. Призываю Вас к пущей строгости в математических разделах. Физиологические подробности доказательства (типа "хочу спать") также не особо приветствуются.

В качестве полезного чтения рекомендуются Правила форума.

-- 07 янв 2013, 15:37 --

Выделенные формулы с нумерацией пишутся так: $$ ...формула... \eqno(1)$$. Без каких-то там "nbsp".

[Deggial]

anwior в сообщении #668271 писал(а):

Начинай вести статистику идеям, мыслям!

anwior, замечание за фамильярность. На форуме следует обращаться на "Вы". См. правила форума

[Denis Russkih]

AKM, большое спасибо, учту все Ваши замечания.

Но очень хотелось бы ещё кое-что уточнить у Вас. Я вижу, Вы удалили моё "доказательство для всех натуральных n>2", а также следующий за ним раздел, где производилась проверка для n=1, n=2 и первой пифагоровой тройки.

Безусловно, решения модератора всегда окончательны и не могут быть оспорены. Однако человеческий разум склонен искать объяснения любым явлениям, и мне просто очень любопытно, чем конкретно продиктовано данное Ваше решение? Не затруднит ли Вас уделить мне минуточку внимания и разъяснить этот вопрос? Чтобы я эффективнее мог избегать подобных ошибок в будущем?

Я почему-то полагал, что надпись в шапке:

"Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3"

означает лишь то, что необходимо в самом начале привести доказательство для n=3, и более никаких подтекстов в этом не содержится. То есть, участник, если у него есть ещё какие-то дополнительные идеи по этому поводу, может сразу же привести и доказательство для натуральных n>2, и различные варианты проверки своей идеи. Но Вы пишете:

"Эта часть сообщения удалена как нарушающая правила этого раздела.
Доказательства для n > 3 рассматриваются после принятия участниками доказательства для n = 3".

Я не встречал упоминаний об этом в "Правилах форума". То есть, получается, сначала все читающие мою тему должны согласиться, что доказательство верно для $n = 3$? И лишь затем я имею право выложить доказательство для более общего случая?.. У меня тогда сразу возникает два очевидных вопроса:

1. О каких именно участниках идёт речь? Скажем, что будет, если какой-нибудь шестиклассник Вова, читающий этот форум, окажется настроен категорически против, толком не разобравшись? Я не имею права продолжить рассуждения без его одобрения?.. Или предположим обратную ситуацию: набежит команда шестиклассников и напишет кучу одобрительных отзывов, при том, что моё доказательство заведомо неправильное? Тогда я смогу продолжить рассуждения и выложить ошибочное доказательство и для $n > 3$? (Ведь не дожидаться же, пока абсолютно все зарегистрированные на форуме участники ознакомятся с моим доказательством?) Или же существует некий список авторитетных участников форума, признания которых будет достаточно, чтобы выложить более общее доказательство?.. Если да, то хотелось бы увидеть список из конкретных людей, состоящих в этой комиссии. Повторюсь, в правилах форума я ничего не нашёл по этому поводу.

2. Мы пока не знаем, каким будет окончательное доказательство теоремы Ферма. А если из моего доказательства будет очевидным образом вытекать доказательство и для всех остальных $n$? Тогда, пока я буду ждать одобрения на дальнейшие рассуждения, кто-нибудь другой, взглянув на мои формулы для $n=3$, может выложить более общее доказательство для всех натуральных $n>2$ на другом форуме, с менее строгими правилами. И со стороны получится так, будто он орлиным взором проник в самую суть, пока я "слепо тыкался" в случай $n=3$.

Я считаю, безусловно, очень разумным требование выложить сначала доказательство для $n=3$. Это позволяет сразу отсеять самые глупые идеи. Но почему же нельзя рассуждать дальше? Почему я должен останавливать свои мысли, если мне есть, что добавить? Очень хотелось бы понять этот момент.

В конце концов, участников форума ведь никто не заставляет читать раздел с доказательством для всех натуральных $n>2$. Если нужно, я мог бы даже скрыть этот раздел под тегом "оффтоп", чтобы не оскорблять взор самых впечатлительных. Но полный запрет на выкладывание общего доказательства?.. В чём его смысл?..

Повторюсь, я ни в коей мере не оспариваю и не осуждаю Ваше решение, мне просто крайне любопытно узнать причины такого запрета.

P.S. Кстати, мне тут подумалось — может быть, я просто не уловил суть?.. Хотелось бы узнать, всегда ли действует ли запрет на выкладывание общего доказательства, или он вступает в силу только после того, как было найдено опровержение выложенного доказательства для случая $n=3$? Может быть, я всё-таки понял Вас неправильно? И при публикации нового доказательства я по-прежнему буду иметь право выложить сразу и доказательство для натуральных $n>2$, а удалению оно будет подлежать лишь в случае опровержения доказательства для $n=3$, как это произошло здесь?

[Коровьев]

Denis Russkih
Я бы порекомендовал Вам опубликовать своё доказательство на форуме physics-animations.

(Оффтоп)

Там хоть выругаться можно.

А здесь пора вешать замок.