Как строить атлас на многообразии Грассмана?

[SleepWalker]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, разобраться что к чему и как устроено в грассмановых многообразиях.
Сразу укажу, что в том курсе, который я рассматриваю грассманианы введены в качестве примера после определения самого многообразия (ну всё что связано с этим: карты, атласы там), т.е. почти в начале курса. Этой оговоркой я хочу сказать, что пояснения, опирающиеся на более "поздние" разделы геометрии и топологии, не очень подойдут, наоборот, желательно, чтобы больше было объяснено как можно на примитивном уровне, ограничиваясь курсами линейной алгебры.
Вот кусок теории, на который я опираюсь и с которым у меня возникают трудности:
Итак, грассмановы многообразия определены как множество k-мерных подпространств в n-мерном евклидовом пространстве (комплексный случай не рассматриваем).
Построим атлас следующим образом. Рассмотрим отображение:
$\pi(A): Mat(k,n; k, \mathbb{R}) \longrightarrow G_{k,n}(\mathbb{R})$
Где $Mat(k,n; k, \mathbb{R})$ - множество вещественных матриц размера $k\times{n}$ максимального ранга $k$. При таком подходе k-мерные подпространства являются подпростванства, натянутые на вектор-строки матрицы A.
Но матричные элементы не могут рассматриваться как локальные координаты, так как такое отображение не биективно (домножив матрицу $A$ на любую матрицу из общей линейной группы $GL(n, \mathbb{R})$ получим тоже самое подпространство, определенное матрицей $A$). Поэтому делают так: у матрицы A рассматривают набор всех её миноров k-го порядка. Так как A имеет ранг k, то найдётся невырожденный минор $A_{\alpha}$ и такая матрица перестановки $P_{\alpha}$, что $AP_{\alpha} = (A_{\alpha} \tilde{A_{\alpha}})$, где $\tilde{A_{\alpha}}$ - некоторая матрица размера $k(n-k)$.
И тут начинается непонятное: заметим, что $\pi(AP_{\alpha}) = \pi((1_{n\times{n}} A^{-1}_{\alpha} \tilde{A_{\alpha}}))$
Вопрос, 1) откуда и как это замечено? 2) Что подразумевается в правой части этого выражения, умножение единичной матрицы на обратный минор и на $\tilde{A_{\alpha}}$ ?

Далее, пусть $U_{\alpha} = \{\pi(A) | A \in Mat(k,n; k, \mathbb{R}), \det\tilde{A_{\alpha}}\neq{0}\}$ - носитель карты $(U_{\alpha}, h_{\alpha})$
Картирующее отображение $h_{\alpha}: U_{\alpha} \longrightarrow \mathbb{R}^{k(n-k)}$ определим как
$h_{\alpha}(\pi(A)) = A^{-1}_{\alpha} \tilde{A_{\alpha}}$

Вопрос: а как выглядит пересечение карт и как построить отображение перехода? Откуда вообще следует, что набор всех $U_\alpha$ с таким картирующим отображением образует атлас?

[xmaister]

Я сам в этом не разбирался, но могу предложить почитать Прасолова- элементы дифференциальной и комбинаторной топологии. Там есть как раз таки пример- многообразия Грассмана.