Олимпиадная задача (Всесибирская олимпиада)

[JIogin]

дано уравнение
$ 1/[x] + 1/[2x] = {x} + 1/3$
где [x] - целая часть х , а {x} - рациональная
нужно найти решения в действительных числах.
Решение:
пусть $[x]=n$
${x}=a$
$3/2n=(3a + 1)/3$
приводим его к квадратному уравнению:
$6a^2 - 2a(3x-1) - (2x-9) = 0$
$D/4=9x^2 + 6x - 53$
далее находим корни относительно $a$, и подставляем их в неравенство $ 0 \le a < 1 $
из чего находим иксы. Но что-то не сходится! помогите с уравнением

[Tanechka]

JIogin, $2[x]\ne[2x]$.

[ewert]

JIogin в сообщении #667634 писал(а):

$ 1/[x] + 1/[2x] = {x} + 1/3$
где [x] - целая часть х , а {x} - рациональная

"Рациональных частей" вообще-то не бывает. И, кстати: а где они в уравнении?

[Shadow]

Например при
$\\x \in [n,n+\frac 1 2), [x]=n, [2x]=2n\\ x \in [n+\frac 1 2, n+1), [x]=n, [2x]=2n+1$
Дальше неравенства....не очень приятные, но решаемые.

-- 05.01.2013, 19:46 --

А лучше оценить Посмотрите на уравнение. Может ли икс быть больше....четырех?

[JIogin]

пропустил то, что после знака равно x в фигурных скобках $\{x\}$
в напечатании формулы ошибку сделал

-- 06.01.2013, 00:00 --

Tanechka
почему-же?

-- 06.01.2013, 00:03 --

Shadow
мое решение говорит, что да, может выть больше четырех

-- 06.01.2013, 00:05 --

Shadow
не понял ваше решение

[ewert]

JIogin в сообщении #667669 писал(а):

пропустил то, что после знака равно x в фигурных скобках {x}

Так восстановите хотя бы сейчас, хотя бы в новом сообщении. Какой смысл кому-то гадать, что там имелось в виду?... Вместо "{" следовало набирать "\{" -- и, соответственно, "\}" вместо "}".

[Shadow]

JIogin в сообщении #667669 писал(а):

Shadow
мое решение говорит, что да, может выть больше четырех

А моя интуиция подсказывает, что правая часть будет больше 4, а левая....нет

[JIogin]

правая и левая части равны

[Cash]

Найдите оценку снизу для правой части и оценку сверху для левой части при $x \geqslant 4$

[JIogin]

из квадратного уравнения получил две системы двойных неравенств, решения которых
$ x \ge 4,5$ и $x<2,125$
$ x \le 4,5$ и $x>2,125$
ну и как мне быть?

а насчет ваших 4 я не понял(

[nnosipov]

Кстати, этот тур олимпиады ещё не закончился. Хорошо ли обсуждать здесь решение задач этого тура?

[Deggial]

Тема закрыта как обсуждение задачи с текущей олимпиады (до 25 января). JIogin, замечание за размещение задачи с текущего конкурса.