Где ошибка в пределе? Демидович 576 (б)

[Trai]

1 способ(совпадает с ответом)
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ch(x)-1}{x^2}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{2x^2}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x}-2e^x+1}{2x^2e^x}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{(e^x-1)^2}{2x^2e^x}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{e^x2}(\lim\limits_{x \to 0} \frac{(e^x-1)}{x})^2=$$\frac12
2 способ
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ch(x)-1}{x^2}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{2x^2}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{2xx}+\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{-x}-1}{2(-x)(-x)}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{2x}+\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{2(-x)}=0$
Где ошибка???

[nnosipov]

Trai в сообщении #667589 писал(а):

Где ошибка???

Вспомните формулировку теоремы о пределе суммы двух функций. Законно ли здесь применение этой теоремы?

[Trai]

nnosipov в сообщении #667593 писал(а):

Вспомните формулировку теоремы о пределе суммы двух функций. Законно ли здесь применение этой теоремы?

Мне кажется, законно. "Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций".
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ch(x)-1}{x^2}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{2x^2}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{2xx}+\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{-x}-1}{2(-x)(-x)}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{2x}+\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{2x^2e^x}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{2x}+\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{2xe^x}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x+1}{2xe^x}=$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{2e^x}=\frac12$
Всё понял, спасибо, извините за беспокойство) в $e^{-x}$ нельзя применять так как -x стремится не к нулю, так ведь?
Всегда проблемы с этой теорией.

[nnosipov]

Trai в сообщении #667597 писал(а):

"Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций"

Это неточная формулировка, отсюда и недоразумение. Рекомендую найти правильную формулировку теоремы, тогда ошибка в Ваших рассуждениях станет очевидной.

Trai в сообщении #667597 писал(а):

так как -x стремится не к нулю, так ведь?

Если $x$ стремится к нулю, то $-x$, очевидно, тоже стремится к нулю.

[cool.phenon]

В самом последнем действии автора темы допущены 2 ошибки. Отсюда и ответ, $0$. На самом деле,выходит $\infty-\infty$ - неопределенность. Выходит,что применять теорему о пределе суммы нельзя.