Исследовать на сходимость интеграл.

[champion12]

Помогите, плиз, исследовать на сходимость интеграл и на непрерывность подынтегральную функцию

$\underset{0}{\overset{+\infty}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\dfrac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}dx\quad\quad a>0$

1) $\underset{0}{\overset{+\infty}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\dfrac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\dfrac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}dx+\underset{1}{\overset{+\infty}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\dfrac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}dx$

Интеграл $\underset{1}{\overset{+\infty}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\dfrac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}dx$ сходится по признаку Дирихле, так как

а) $\left|\underset{1}{\overset{+\infty}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\sin(bx)dx\right|\leqslant 2$

b) $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^{-ax}}{x}=0$

Со сходимостью $\underset{0}{\overset{1}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\dfrac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}dx$ сложнее, можно ли так?

$\left|\underset{0}{\overset{1}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\dfrac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}dx\right|\leqslant \left|\underset{0}{\overset{1}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\dfrac{e^{-ax}}{x}dx\right|$

А как дальше?

2) Непрерывность подынтегральной функции.

Вроде как очевидна непрерывность во вех точках, кроме $x=0$

Но ведь и там функция подынтегральная непрерывна?

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}=b$ (первый замечательный предел)

[alcoholist]

champion12 в сообщении #667180 писал(а):

Со сходимостью $\underset{0}{\overset{1}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\dfrac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}dx$ сложнее, можно ли так?

Зачем? Это интеграл от ограниченной функции по отрезку

[SpBTimes]

Подынтегральная функция имеет разрыв, но устранимый

[champion12]

SpBTimes в сообщении #667272 писал(а):

Подынтегральная функция имеет разрыв, но устранимый

Спасибо! А это значит, что интеграл является собственным?

[SpBTimes]

В нуле этого достаточно для сходимости, в бесконечности же все по-другому.

[champion12]

SpBTimes в сообщении #667275 писал(а):

В нуле этого достаточно для сходимости, в бесконечности же все по-другому.

Ок, а на бесконечности у меня неверно рассмотрено выше?

А когда подынтегральная функция определена и непрерывна на $(0;+\infty)$, а в $x=0$ есть устранимый разрыв, то можно ли сказать, что она непрерывна на $[0;+\infty)$, а значение в точке $x=0$ равно $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$?

[SpBTimes]

champion12 в сообщении #667279 писал(а):

функция определена и непрерывна на $(0;+\infty)$, а в $x=0$ есть устранимый разрыв, то можно ли сказать, что она непрерывна на $[0;+\infty)$

Нет, так как она имеет разрыв, но ее можно доопределить по непрерывности, положив

champion12 в сообщении #667279 писал(а):

значение в точке $x=0$ равно $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$

На бесконечности рассмотрено плохо. Первообразные должны быть ограничены, а не интеграл

[champion12]

Хорошо, спасибо! Вот так будет правильно?

$\forall A>1\;\;\;\;\left|\underset{1}{\overset{A}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\sin(bx)dx\right|\leqslant 2$

[SpBTimes]

да

[champion12]

Спасибо, большое.

(Уже не актуально)

Есть еще один вопрос!

Почему интеграл от производной по параметру $\underset{1}{\overset{+\infty}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}{e^{-ax}\cos(bx)}dx$ сходится равномерно?

$\left|\underset{1}{\overset{+\infty}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}{e^{-ax}\cos(bx)}dx\right|\leqslant \left|\underset{1}{\overset{+\infty}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}{e^{-ax}dx\right|=-\dfrac{e^{-ax}}{a}\Bigg|_1^{+\infty}=\dfrac{1}{ae^a}$

У меня не получается добиться равномерности, так как мажорируемая функция зависит от параметра..

Ой, она же от другого параметра зависит! Тогда этой мажоранты хватит) Спасибо!

[alcoholist]

champion12
самый короткий способ такой:
$\left|\underset{0}{\overset{+\infty}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}\dfrac{e^{-ax}\sin(bx)}{x}dx\right|\le |b|\underset{0}{\overset{+\infty}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}e^{-ax}dx=|b|/a$
здесь использовано только неравенство $|\sin t|\le |t|$