Определитель

[White_Glue]

Здравствуйте. Возникла проблема с поиском определителя.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ над кольцом $(K_4, +, \cdot)$.
Итак, мое решение:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -3 \cdot (1 - 3 \cdot 2) + 2 \cdot (1 - 3 \cdot 3) = -3 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 = -3 \cdot (-1) = 3$
Решение над кольцом целых чисел показывает, что определитель равен $-1$, на никак не $3$. Помогите, пожалуйста, найти ошибку.

[AV_77]

$K_4$ это что за кольцо? Если это $\mathbb{Z}_4$, то из каких элементов оно состоит и что означает равенство $1 + 3 = 0$?

[White_Glue]

AV_77, ну так как мы не можем выйти за это кольцо, то берем остаток от деления $1+3 = 4$ на $4$, который равен нулю. А кольцо состоит из эл-тов ${0, 1, 2, 3}$

[AV_77]

Более конкретно. У нас в $\mathbb{Z}_4$ есть равенства $1+3=0$ и есть $1+(-1) = 0$. Из этого что-нибудь следует?

[White_Glue]

AV_77, извините, я вас не понял. Может, я неверен в своем действии, когда беру остаток от деления числа, которое не входит в кольцо?

[ewert]

White_Glue в сообщении #667034 писал(а):

Может, я неверен в своем действии,

Вы неверны в исходном утверждении:

White_Glue в сообщении #667017 писал(а):

равен $-1$, на никак не $3$.

Если, конечно, Вы понимаете, что это за кольцо.

[AV_77]

Давайте так попробуем. Верно ли, что $3 \equiv -1 \pmod{4}$ и что это означает для кольца $\mathbb{Z}_4$?

[White_Glue]

AV_77, нет, неверно. Означает, думаю, что в кольце $\mathbb{Z}_4$ число $3$ не соответствует числу $-1$ в кольце целых чисел.
Елки, извиняюсь, верно. Значит, решено правильно.

[AV_77]

White_Glue в сообщении #667048 писал(а):

Значит, решено правильно.

Да. В $\mathbb{Z}_4$ выполняется равенство $-1 = 3$. Так что у вас все нормально получилось.

[White_Glue]

AV_77, да-да, я позабыл про это. Тогда все решено верно, спасибо.

[lek]

Вообще, строго говоря, рассматриваемое поле содержит в точности 4 элемента $\{0,1,2,3\}$. Поэтому "отрицательных" чисел там нет. Для поля характеристики 2 их можно "ввести" только путем отождествления $-a\equiv a$.

[nnosipov]

lek в сообщении #667075 писал(а):

Поэтому "отрицательных" чисел там нет. Для поля характеристики 2 их можно "ввести" только путем отождествления $-a\equiv a$.

В любом кольце есть элемент $-a$, противоположный элементу $a$.

[ewert]

lek в сообщении #667075 писал(а):

Поэтому "отрицательных" чисел там нет.

Нет только в том смысле, что там нет порядка. Но понятие обратного-то элемента по сложению там всё-таки есть. Так что записи типа просто $-1$ или $-1=3$ вполне законны.

[lek]

Согласен... Хотя здесь можно обойтись и без минусов

[ewert]

lek в сообщении #667090 писал(а):

Хотя здесь можно обойтись и без минусов

Здесь (т.е. при вычислении определителей) -- без минусов никак.