Равномерная непрерывность и ограниченность

[Lickut]

Пусть $ x(t) , x''(t)$ равномерно непрерывные и ограничены .
Доказать,что $x'(t)$ также равномерно непрерывная и ограниченная функция

Непрерывность понятна,равномерная непрерывность тоже :
$x'(t_1)-x'(t_2)=x''(c)(t_2 - t_1) , c\$
А вот почему ограничена?

[cool.phenon]

Из такой формулировки сразу возникают вопросы. Где функция определена? Вы этого не указали, вполне возможно найти контрпримеры.
Если на отрезке - то из свойства непрерывной функции, если она непрерывна на отрезке, то она ограничена.

[gris]

На конечных интервалах, крнечно, почти очевидно.
Надо доказать на бесконечном.

[lyuk]

Если $x$ неограничена, то используя ограниченость $x''$ можна найти сколь угодно длинные промежутки, на которых $x''$ сохраняет знак и $|x''(t)|>1$. Отсюда вытекает неограниченость $x$.
З.Ы. Думаю можна найти что-то красивее.

[Lickut]

Прошу прощения,забыл указать,что функция определена на всей оси

-- 03.01.2013, 23:46 --

lyuk в сообщении #666821 писал(а):

Если $x$ неограничена, то используя ограниченость $x''$ можна найти сколь угодно длинные промежутки, на которых $x''$ сохраняет знак и $|x''(t)|>1$. Отсюда вытекает неограниченость $x$.
З.Ы. Думаю можна найти что-то красивее.

честно,не очень понятен ваш ход мыслей,можете поподробнее?

[lyuk]

Пусть $x'(t_0)>n$ и $|x''(t)|\leq C$. Тогда $x'(t)\geq1$ для всех $t\in [t_0-\frac{n-1}{C},t_0+\frac{n-1}{C}]$. И $x(t_0+\frac{n-1}{C})-x(t_0-\frac{n-1}{C})\geq \frac{2(n-1)}{C}$.

[Lickut]

lyuk в сообщении #666848 писал(а):

Пусть $x'(t_0)>n$ и $|x''(t)|\leq C$. Тогда $x'(t)\geq1$ для всех $t\in [t_0-\frac{n-1}{C},t_0+\frac{n-1}{C}]$. И $x(t_0+\frac{n-1}{C})-x(t_0-\frac{n-1}{C})\geq \frac{2(n-1)}{C}$.

спасибо,понял,хорошее решение

[ewert]

Пусть $|x(t)|\leqslant m_0$ и $|x''(t)|\leqslant m_2$ для всех $t$. Тогда $|x'(t)|\leqslant m_1$ для всех $t$, где $m_1=\sqrt{2m_0m_2}$, и эта оценка точна.

(поскольку при нарушении этого неравенства траектория окажется подпёртой изнутри соответствующей параболой и вынуждена будет выскочить за пределы полосы полушириной в $m_0$)