2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите дорешать два дифференциальных уравнения!
Сообщение13.05.2007, 13:07 


10/05/07
8
Здравствуйте. У меня возникла проблема в решении двух ДУ:
№1. Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка
$\ y'=-\frac{2*x+y} {2*y+x}$.
1)Я ввела замену $\ u=\frac{y} {x}$.
2)В итоге получился интеграл $\int \frac{2*u+1} {-2(u^2+u+1)}du=\int x dx$.
3)После нахождения интеграла $\ -\frac{1} {2}\ln(2u^2+2u+1)=x$
4)И у меня возникла проблема - как отсюда выразить $\ y$ , если $\ y=ux$?

№2. Методом понижения порядка решить уравнение $\ y''=e^y$.
1)Я привела его к уравнению с разделяющимися переменными $p*\frac{dp} {dy}=e^y$, где $\ p=y'$.
2)Нашла из предыдущего уравнения p, оно оказалось $\ p=sqrt(\frac{e^y} {2})$.
3) В итоге получилось $\ \frac{-2} {sqrt{\ e^y}}=x$.
Но из этого $\ y$ нельзя выразить! Может, у меня где-то ошибка?

\ должен находится вплотную к ключевому слову: \int
Кроме того, \intxdx будет прочитано как одно слово, следует писать \int x dx //нг

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.05.2007, 16:49 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Если позволите, несколько советов.
1) Проведите выкладки аккуратнее. Например, в №1 после разделения переменных в правой части должно получаться $\dfrac{dx}{x}$, а не $x\,dx$.
2) Не забывайте, что при интегрировании появляется произвольная постоянная $C$. Ее тоже нужно учитывать. Например, в №2 это существенно; и хотя там она портит всю малину (без нее все было бы просто прекрасно!), но все же писать ее нужно.
3) Кроме того, $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$, а не просто $\ln x$. Это, впрочем, тоже к вопросу об аккуратности выкладок.

Собственно, о самих уравнениях:
№1 - Здесь получится квадратное уравнение на $y$, решив которое, можно выразить его через $x$. Да, получатся корни, но что поделаешь.

№2 - А его обязательно решать методом понижения порядка? Без него оно решается гораздо проще. Но если обязательно, то после разрешения уравнения относительно $p=p(y)$ получится дифф. уравнение первого порядка $y'=p(y)$, его и решайте. Получится неприятный интеграл, но он вроде берётся.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.05.2007, 19:22 


10/05/07
8
По совету 1 - оно так и получилось, просто неправильно напечатала.
В №1 у меня получилось уравнение $\ y^2 +yx+x^2=\frac{1} {2}$. Вот до меня и не доходит, как отсюда выражать $\ y$.
А в №2 у меня $\ \frac{-2} {sqrt{\ e^y}}=x$ как раз и получилось из этого интеграла.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.05.2007, 19:36 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
В №1 у меня, правда, получилось несколько по-другому: $y^2+xy+x^2(1-Cx^2)=0$ (почему насчет произвольной постоянной совет проигнорировали? :? )
Но ответ на вопрос такой же: решайте это квадратное уравнение относительно $y$, раз уж очень хочется его явно выразить.

А как в №2 Вы получили такое равенство, непонятно. У меня после разрешения уравнения на $p$ вышло уравнение $(y')^2=2e^y+C$, $C$ - произвольная постоянная.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2007, 15:03 


10/05/07
8
Спасибо! Я определенно невнимательная. Не заметила такую ошибку: из $\ (y')^2/2=e^y$ выразила $\ (y')^2=e^y/2$
вместо $\ (y')^2=2e^y$. Мне очень-очень стыдно! :( и грустно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.05.2007, 09:55 


10/05/07
8
Еще один вопрос -
"методом понижения порядка решить уравнение $xy''=y'+x((y')^2+x^2)$".
Вот его я совсем не знаю, как решать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.05.2007, 10:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Для начала принять производную неизвестной функции за новую функцию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.05.2007, 20:34 


10/05/07
8
Ага. Так и делаю. Но вот только, когда его решал мой преподаватель по матану (очень умный человек), то он долго-долго думал. Но так ничего и не смог придумать. У меня, тем более, ничего не получается. Вот, прошу помощи у вас, умудренных жизнью и матанализом, людей! :D Помогите!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.05.2007, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Как рекомендовано, делаем подстановку $y'=z$, откуда $y''=z'$, и получаем уравнение первого порядка $xz'=z+x(z^2+x^2)$. После переноса $z$ налево получаем $xz'-z=x(z^2+x^2)$. Левая часть подозрительно напоминает выражение в числителе производной дроби $\frac zx$, поэтому ещё делим на $x^2$:
$$\frac{z'x-z}{x^2}=\frac{z^2+x^2}x\text{,}$$
$$\left(\frac zx\right)'=\frac{z^2+x^2}x\text{.}$$
Эврика! Подставляем $z=xu$ и получаем уравнение с разделяющимися переменными:
$$u'=x(u^2+1)\text{.}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.05.2007, 12:52 


10/05/07
8
Агромадное спасибо! А если вы мне еще подскажете, как разложить $sin5x$ и порекомендуете какую-нибудь литературу по методам решения задач на комплексные числа, то вообще буду благодарна до гроба! :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.05.2007, 13:10 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
По формуле Эйлера $e^{i\cdot 5x}=\cos 5x + i\sin 5x$.
С другой стороны, $e^{i\cdot 5x} = (e^{ix})^5=(\cos x+i\sin x)^5$. Таким образом, $\cos 5x + i\sin 5x=(\cos x+i\sin x)^5$. Теперь раскрываем скобки в правой части (по формуле бинома Ньютона) и выделяем вещественную часть (она будет равна $\cos 5x$) и мнимую часть ($\sin 5x$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group