Помогите дорешать два дифференциальных уравнения!

[Tanais]

Здравствуйте. У меня возникла проблема в решении двух ДУ:
№1. Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка
$\ y'=-\frac{2*x+y} {2*y+x}$.
1)Я ввела замену $\ u=\frac{y} {x}$.
2)В итоге получился интеграл $\int \frac{2*u+1} {-2(u^2+u+1)}du=\int x dx$.
3)После нахождения интеграла $\ -\frac{1} {2}\ln(2u^2+2u+1)=x$
4)И у меня возникла проблема - как отсюда выразить $\ y$ , если $\ y=ux$?

№2. Методом понижения порядка решить уравнение $\ y''=e^y$.
1)Я привела его к уравнению с разделяющимися переменными $p*\frac{dp} {dy}=e^y$, где $\ p=y'$.
2)Нашла из предыдущего уравнения p, оно оказалось $\ p=sqrt(\frac{e^y} {2})$.
3) В итоге получилось $\ \frac{-2} {sqrt{\ e^y}}=x$.
Но из этого $\ y$ нельзя выразить! Может, у меня где-то ошибка?

\ должен находится вплотную к ключевому слову: \int
Кроме того, \intxdx будет прочитано как одно слово, следует писать \int x dx //нг

[Gordmit]

Если позволите, несколько советов.
1) Проведите выкладки аккуратнее. Например, в №1 после разделения переменных в правой части должно получаться $\dfrac{dx}{x}$, а не $x\,dx$.
2) Не забывайте, что при интегрировании появляется произвольная постоянная $C$. Ее тоже нужно учитывать. Например, в №2 это существенно; и хотя там она портит всю малину (без нее все было бы просто прекрасно!), но все же писать ее нужно.
3) Кроме того, $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$, а не просто $\ln x$. Это, впрочем, тоже к вопросу об аккуратности выкладок.

Собственно, о самих уравнениях:
№1 - Здесь получится квадратное уравнение на $y$, решив которое, можно выразить его через $x$. Да, получатся корни, но что поделаешь.

№2 - А его обязательно решать методом понижения порядка? Без него оно решается гораздо проще. Но если обязательно, то после разрешения уравнения относительно $p=p(y)$ получится дифф. уравнение первого порядка $y'=p(y)$, его и решайте. Получится неприятный интеграл, но он вроде берётся.

[Tanais]

По совету 1 - оно так и получилось, просто неправильно напечатала.
В №1 у меня получилось уравнение $\ y^2 +yx+x^2=\frac{1} {2}$. Вот до меня и не доходит, как отсюда выражать $\ y$.
А в №2 у меня $\ \frac{-2} {sqrt{\ e^y}}=x$ как раз и получилось из этого интеграла.

[Gordmit]

В №1 у меня, правда, получилось несколько по-другому: $y^2+xy+x^2(1-Cx^2)=0$ (почему насчет произвольной постоянной совет проигнорировали? )
Но ответ на вопрос такой же: решайте это квадратное уравнение относительно $y$, раз уж очень хочется его явно выразить.

А как в №2 Вы получили такое равенство, непонятно. У меня после разрешения уравнения на $p$ вышло уравнение $(y')^2=2e^y+C$, $C$ - произвольная постоянная.

[Tanais]

Спасибо! Я определенно невнимательная. Не заметила такую ошибку: из $\ (y')^2/2=e^y$ выразила $\ (y')^2=e^y/2$
вместо $\ (y')^2=2e^y$. Мне очень-очень стыдно! и грустно.

[Tanais]

Еще один вопрос -
"методом понижения порядка решить уравнение $xy''=y'+x((y')^2+x^2)$".
Вот его я совсем не знаю, как решать.

[Brukvalub]

Для начала принять производную неизвестной функции за новую функцию.

[Tanais]

Ага. Так и делаю. Но вот только, когда его решал мой преподаватель по матану (очень умный человек), то он долго-долго думал. Но так ничего и не смог придумать. У меня, тем более, ничего не получается. Вот, прошу помощи у вас, умудренных жизнью и матанализом, людей! Помогите!

[Someone]

Как рекомендовано, делаем подстановку $y'=z$, откуда $y''=z'$, и получаем уравнение первого порядка $xz'=z+x(z^2+x^2)$. После переноса $z$ налево получаем $xz'-z=x(z^2+x^2)$. Левая часть подозрительно напоминает выражение в числителе производной дроби $\frac zx$, поэтому ещё делим на $x^2$:

$$\frac{z'x-z}{x^2}=\frac{z^2+x^2}x\text{,}$$

$$\left(\frac zx\right)'=\frac{z^2+x^2}x\text{.}$$

Эврика! Подставляем $z=xu$ и получаем уравнение с разделяющимися переменными:

$$u'=x(u^2+1)\text{.}$$

[Tanais]

Агромадное спасибо! А если вы мне еще подскажете, как разложить $sin5x$ и порекомендуете какую-нибудь литературу по методам решения задач на комплексные числа, то вообще буду благодарна до гроба!

[Gordmit]

По формуле Эйлера $e^{i\cdot 5x}=\cos 5x + i\sin 5x$.
С другой стороны, $e^{i\cdot 5x} = (e^{ix})^5=(\cos x+i\sin x)^5$. Таким образом, $\cos 5x + i\sin 5x=(\cos x+i\sin x)^5$. Теперь раскрываем скобки в правой части (по формуле бинома Ньютона) и выделяем вещественную часть (она будет равна $\cos 5x$) и мнимую часть ($\sin 5x$).