Ангем, два простейших вопроса

[Ktina]

Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы второго координатного угла точкам:
24.1 $A(3; 5)$;
24.2 $B(-4; 3)$;
24.3 $C(7; -2)$;

Вопрос первый: почему "относительно биссектрисы", а не "относительно прямой, на которой эта биссектриса лежит"? Есть ли разница? Биссектриса, вроде как, луч.

Вопрос второй: эмпирическим путём обнаружила, что точкой, симметричной точке $(x, y)$, является точка $(-y, -x)$. Как это строго доказать?

[cool.phenon]

Чтобы строго доказать, нужно воспользоваться формулой поворота в декартовых координатах относительно точки $\left(0;0\right)$
$x'=x\cos\left(\varphi\right)-y\sin\left(\varphi\right)$
$y'=x\sin\left(\varphi\right)+y\cos\left(\varphi\right)$
Можно также формулой поворота в комплексных числах, кому что удобнее.

[Ktina]

cool.phenon в сообщении #666540 писал(а):

Чтобы строго доказать, нужно воспользоваться формулой поворота в декартовых координатах относительно точки $\left(0;0\right)$
$x'=x\cos\left(\varphi\right)-y\sin\left(\varphi\right)$
$y'=x\sin\left(\varphi\right)+y\cos\left(\varphi\right)$
Можно также формулой поворота в комплексных числах, кому что удобнее.

Спасибо!
Дело в том, что задачник, из которого я взяла данную задачу, построен так, что указанные Вами формулы изучаются позже. Есть ли другой способ?

[nikvic]

cool.phenon в сообщении #666540 писал(а):

Чтобы строго доказать, нужно воспользоваться формулой поворота в декартовых координатах

Гм, чесать правое ухо левой рукой?

Да и утверждение автора неверно.
===========
Биссектриса - прямая, у неё есть уравние(я). Можно из исходной точки опустить на прямую перпендикуляр и продлить его на его длину...

[cool.phenon]

Есть еще формула симметрии относительно прямой $y=kx+b$. Там используется только нахождение середины отрезка и перпендикулярность прямых.

nikvic

А что, простите, криминального в этой формуле? Или у вас есть еще легче метод?
По сути, 2 строки. Лично я не знаю метода проще.

[Ktina]

nikvic в сообщении #666547 писал(а):

Да и утверждение автора неверно.

Какого автора? Автора задачи? А разве он что-либо утверждал?

-- 03.01.2013, 13:33 --

cool.phenon в сообщении #666550 писал(а):

А что, простите, криминального в этой формуле?

Не в формуле, а в том, как задачник составлен. Может, Вас не затруднит заодно порекомендовать задачник получше?

[cool.phenon]

Ktina
Если по аналитической геометрии - то Клетейник, Цубербиллер, на 1 курсе ими пользуются, как правило. Вот там уже можно всё применять. Формула поворота практически в самом начале.
Если же Вы хотите просто потренироваться в аналитическом методе,например,в планиметрии, где без знания сотни экзотических теорем, вроде теоремы Брианшона или Паскаля, не обойтись, тогда рекомендую "Прасолов. Геометрия". С ним тоже можно в аналитической геометрии поупражняться, практически все задачи там решаются. Другое дело - сколько времени займёт.

[Ktina]

cool.phenon в сообщении #666566 писал(а):

Ktina
Если по аналитической геометрии - то Клетейник, ...

Так это и есть Клетейник, из которого я взяла: http://www.a-geometry.narod.ru/index.htm

[cool.phenon]

Наверное, там подразумевалась либо формула симметрии относительно прямой, либо векторный метод.
Да,действительно, поворот несколько дальше.

[Someone]

Скорее всего, там подразумевалось вообще посчитать по клеточкам. Задача в таком месте, где просто введены декартовы координаты на плоскости, и нет ещё ни векторов, ни уравнений прямых, ни даже формулы длины отрезка.

Кстати, автор - Д.В.Клетеник, а вовсе не Клетейник.

[cool.phenon]

Someone
Прошу прощения за мою безграмотность.

[Ktina]

cool.phenon в сообщении #666581 писал(а):

Someone
Прошу прощения за мою безграмотность.

Someone, и за мою тоже.

[nikvic]

cool.phenon в сообщении #666550 писал(а):

А что, простите, криминального в этой формуле? Или у вас есть еще легче метод?

Понятие симметрии относительно прямой "первороднее" поворота.
Зачем искать синусы-косинусы в такой задаче? Глупость какая-то.

[cool.phenon]

Цитата:

Понятие симметрии относительно прямой "первороднее" поворота.

А это уже спорный вопрос, смотря, что Вы вводили раньше.

К тому же, симметрия относительно прямой эквивалентна повороту на $+/-$ $\pi$

[gris]

cool.phenon писал(а):

К тому же, симметрия относительно прямой эквивалентна повороту на $+/-$ $\pi$

Только я хотел сказать "ой", как подумал — если в пространстве, то так оно и есть.