Уравнение и не только

[DjD USB]

1)Квадрат натурального числа содержит несколько единиц и одну двойку. Докажите,что он делится на 11.
2)Решить систему

$$$\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{2}(y+\frac{1}{y})\\ b=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})\\ z=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x}) \end{matrix}\right.$$

3)Решить в целых числах

$$x+y=x^2-xy+y^2$$

4)Решить в целых числах

$$x^2+3x+5=y^2$$

[Shadow]

Первую Ktina решала в "Помогите решить", даже доказала что 121 единственное такое число.
Во второй там вместо a,b долно быть x,y. Иначе нет смысла. Ясно, что или все положительные, или все отрицательные. Пусть будут положительные. Тогда они не меньше 1. Допустим, что они не равны, напр. $x<y<z$. Тогда $0<1/z<1/y<1/x<x<y<z$. Противоречие: z не находится по середине между $1/x$ и $x$
3. Тупо как квадратное уравнение относительно x. Дискриминант сильно ограничивает y.
4. После умножения на 4 представляем 11 как разность квадратов.

[DjD USB]

А можно ссылку на 1-е задание. Да во 2-й перепутал. 3-е попробуйте по другому еще

-- Ср янв 02, 2013 18:33:41 --

Да, во второй вы правильно заметили, что если $(x_0;y_0;z_0)$ является решением, то и $(-x_0;-y_o;-z_0)$ тоже является решением. По этому можно просто для положительных решить.И получаем, что $x=\frac{1}{2}(y+\frac{1}{y})\ge1$. Аналагично $y\ge1 , z\ge1$. Складываем все три равенства и получаем, что $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. И мы знаем, что $x+y+z\ge3$ и что $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3$ значит единственная пара $(1;1;1)$. Ну и пара $(-1;-1;-1)$ значит тоже подходит.