Задача Коши.

[belo4ka]

$y \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} + x\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} =0$

$z\Big|_{y=-2x}=y^2$

Какое значение функция $z(x,y)$ (явл. решением задачи Коши) принимает в точке $(-1;7)$?

Попытка решения:

$\dfrac{dx}{dt}=y, \;\;\;\dfrac{dy}{dt}=x$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y}$

$x^2-y^2=C$

А как дальше?

[Yu_K]

Это Вы нашли уравнение семейства характеристик. Теперь смотрите ту характеристику, которая проходит через точку $(-1,7)$ - как бы сказал ИСН - дальше смотрите куда кривая выведет...

[belo4ka]

Yu_K в сообщении #666205 писал(а):

Это Вы нашли уравнение семейства характеристик. Теперь смотрите ту характеристику, которая проходит через точку $(-1,7)$ - как бы сказал ИСН - дальше смотрите куда кривая выведет...

Спасибо.

$x^2-(-2x)^2=C$

$-3x^2=C$

В точке $(-1;7)$ у нас $C=-3$

А как теперь найти $z$?

[Yu_K]

belo4ka
Не торопитесь... при $C=-3$ мне кажется характеристика не пройдет через точку $(-1,7)$.

Ну важный момент - как меняется значение $z$ вдоль характеристики? Согласно Вашего уравнения?

[belo4ka]

Yu_K в сообщении #666227 писал(а):

Ну важный момент - как меняется значение $z$ вдоль характеристики? Согласно Вашего уравнения?

Вот как раз этого я и не понимаю, если это осознать, то дальше должно быть легко...

[Yu_K]

belo4ka в сообщении #666230 писал(а):

Вот как раз этого я и не понимаю, если это осознать, то дальше должно быть легко...

Не всегда легко... но в данном случае не легко, а очень легко... поскольку правая часть Вашего уравнения нулевая. Вы так хорошо начали - по сути дела уравнение - это полная производная вдоль характеристики от искомой функции.

[belo4ka]

Yu_K в сообщении #666233 писал(а):

Не всегда легко... но в данном случае не легко, а очень легко... поскольку правая часть Вашего уравнения нулевая. Вы так хорошо начали - по сути дела уравнение - это полная производная вдоль характеристики от искомой функции.

То есть $\dfrac{dz}{dt}=0 \Rightarrow z=\operatorname{const} $???

[Yu_K]

+1000500

[belo4ka]

Yu_K в сообщении #666241 писал(а):

+1000500

ок, спс, а как это может нам помочь?!!

[Yu_K]

Ну теперь надо начинать делать то, что Вы планировали... надо

Цитата:

это осознать

и

Цитата:

дальше должно быть легко

[belo4ka]

Просто не понять связь полученной характеристики и $z$....

$z=\dfrac{\operatorname{const}}{C}\cdot (x^2-y^2)=C_1(x^2-y^2)$

$C_1=\dfrac{\operatorname{const}}{C}$ - некая константа...

-- 02.01.2013, 17:55 --

$z\Big|_{y=-2x}=C_1(x^2-(-2x)^2)=-3C_1x^2=y^2=4x^2$

$C_1=-\dfrac{4}3$

$z=-\dfrac{4}3\cdot \left(x^2-y^2\right)$

Так как через точку $(-1;7)$ проходит, то $z=-\dfrac{4}3\cdot \left(1-49\right)=64$

[Yu_K]

Хороший вариант... но слишком ограничивает Ваши возможности... попробуйте еще какие-нибудь... хотя это не обязательно делать - вроде не планировалось искать общее решение... - поиск общего решения можно оставить на сладкое.

Для осознания вопрос. Можете "дать" общий вид функций от двух переменных, которые постоянны вдоль любой окружности из семейства концентрических окружностей с центром в (0,0)?

[belo4ka]

Yu_K в сообщении #666249 писал(а):

Хороший вариант... но слишком ограничивает Ваши возможности... попробуйте еще какие-нибудь... хотя это не обязательно делать - вроде не планировалось искать общее решение... - поиск общего решения можно оставить на сладкое.

Ок, а как можно еще -- не знаю...(

-- 02.01.2013, 18:05 --

Yu_K в сообщении #666249 писал(а):

Для осознания вопрос. Можете "дать" общий вид функций от двух переменных, которые постоянны вдоль любой окружности из семейства концентрических окружностей с центром в (0,0)?

$f(x,y)=C(x^2+y^2)$ или есть более общий вид?

[Yu_K]

Не спешите...

Для осознания вопрос. Можете "дать" общий вид функций от двух переменных, которые постоянны вдоль любой окружности из семейства концентрических окружностей с центром в (0,0)? У какого семейства функций линии уровня концентрические окружности? А в Вашем случае окружности заменены на гиперболы.

belo4ka в сообщении #666250 писал(а):

$f(x,y)=C(x^2+y^2)$ или есть более общий вид?

Опять Вы ограничиваете свои возможности (что такое $C$ в этой записи?).

[belo4ka]

Yu_K в сообщении #666254 писал(а):

Опять Вы ограничиваете свои возможности (что такое $C$ в этой записи?).

Константа. Может быть $f(x,y)=g(x^2+y^2)$?

$g(x^2+y^2)$ - функция от $x^2+y^2$