Предновогодняя мини-олимпиада

[Ktina]

1) Последовательность вещественных чисел $(a_n)$ удовлетворяет рекуррентному соотношению

$$a_{n+1}=a_n(a_n+2)$$

Найти все возможные значения $a_{2013}$

2) Назовём натуральное число предновогодним, если сумма его десятичных цифр равна его наибольшему собственному делителю. Найти все предновогодние числа.

3) Произведение всех (включая единичку и само число) натуральных делителей некоторого натурального числа оканчивается ровно на 2013 нулей. На какое максимальное количество нулей может оканчиваться само число?

Всех с наступающим Новым Годом!

[Shadow]

1. $a_n=(a_0+1)^{2^n}-1$ Доказательство методом мат. индукции

[Shadow]

2. Ясно, что речь идет о составных чисел, больше 10. Отметим двуцифренных $18,27,45,63$ , которые подозрительно делятся на 9. Дальше...Если наше число K, то его наибольший делител не меньше чем $\sqrt K$. Проверим трицифренных. Mаксимальняя сумма трицифренных -27, и она должна делится на число, не меньше 10. Вряд ли. Для четирицифренных еще хуже. И т.д

-- 31.12.2012, 01:07 --

Shadow в сообщении #665577 писал(а):

и она должна делится на число, не меньше 10

Опс, не делится, а равна. Нужно проверить.

[Ktina]

Shadow в сообщении #665577 писал(а):

2. Ясно, что речь идет о составных чисел, больше 10. Отметим двуцифренных $18,27,45,63$ , которые подозрительно делятся на 9.

Надеюсь, Вы не думаете, что число 45 является предновогодним? У него ведь сумма цифр равна 9, а НСД равен 15.

[Shadow]

Ktina в сообщении #665585 писал(а):

Надеюсь, Вы не думаете, что число 45 является предновогодним? У него ведь сумма цифр равна 9, а НСД равен 15.

Убираем и 63

-- 31.12.2012, 01:46 --

И вообще по второй задаче начал писать раньше, чем думать

[nnosipov]

3. На два предновогодних нуля.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #665598 писал(а):

3. На два предновогодних нуля.

Ой, пардон! Я должна была написать не "ровно на 2013 нулей", а "не более, чем на 2013 нулей"
Хотя тоже задача неплохая получилась. А почему у Вас 2 вышло?

Я эту олимпиаду состряпала спонтанно буквально за 10 минут, вот и получились неточности в условиях.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #665606 писал(а):

А почему у Вас 2 вышло?

Нашёл у себя задачу с 399 нулями (это была задача из какого-то ЕГЭ-шного сборника) и отредактировал решение. Вот и получилось, что либо один нуль, либо два нуля только и могут быть у самого числа. В решении используется известная формула для произведения всех делителей данного натурального числа --- никаких хитростей.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #665615 писал(а):

Ktina в сообщении #665606 писал(а):

А почему у Вас 2 вышло?

Нашёл у себя задачу с 399 нулями (это была задача из какого-то ЕГЭ-шного сборника) и отредактировал решение. Вот и получилось, что либо один нуль, либо два нуля только и могут быть у самого числа. В решении используется известная формула для произведения всех делителей данного натурального числа --- никаких хитростей.

У меня ответ 17, если "не более, чем 2013 нулей"

[DARIUS]

Во второй ответ.399 81 63 45 27 18

[nnosipov]

Ktina в сообщении #665631 писал(а):

У меня ответ 17, если "не более, чем 2013 нулей"

Не многовато ли? Что-то не понимаю, как такое возможно.

[Shadow]

DARIUS в сообщении #665666 писал(а):

Во второй ответ.399 81 63 45 27 18

Как уже было сказано, 45 делится на 15, 63 на 21, 81 на 27, а 399 на 133

[DARIUS]

ОЙ действительно .Тогда остается только 27 и 18

[DrVirogov]

3. Имеется 2 таких числа $2^{668}\cdot100$ и $5^{668}\cdot100$