Предел с логарифма в степени

[Limit79]

$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \ln \left(\frac{4n-1}{3n+2} \right ) \right )^{5n^2+2}$

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать.

ps. интуитивно понятно, что основание стремится к $ \ln \left ( \frac{4}{3} \right ) < 1$, а показатель к бесконечности, то есть пределом будет $0$, но как бы это расписать по умному.

[ИСН]

Да не надо по-умному. Подлогарифменная величина всегда меньше вот этого, к которому стремится? значит, логарифм меньше чего? значит, всё вместе меньше чего, стремящегося куда?

[Limit79]

ИСН
Этот вариант я понял, но как-то мне он не очень нравится.

Есть мысль прикрутить второй замечательный предел под логарифмом...

-- 31.12.2012, 01:14 --

$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \ln \left(\frac{4n-1}{3n+2} \right ) \right )^{5n^2+2} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \ln \left( 1 + \frac{n-3}{3n+2} \right ) \right )^{5n^2+2} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \ln \left( e^{\frac{n-3}{3n+2}} \right ) \right )^{5n^2+2} = ...$

[ИСН]

- Давайте вы мне эту тыщу рублей просто так отдадите, а?
- Этот вариант я понял, но как-то мне он не очень нравится. Вот телефончик одного чувака, который на ВДНХ крадеными мобилами торгует. Поезжайте к нему, он и отдаст. Если не отдаст, приведите с собой Васю из Балашихи, сейчас скажу, как найти...

[Limit79]

ИСН
Или же вот такое решение будет справедливым и правильным:

$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \ln \left(\frac{4n-1}{3n+2} \right ) \right )^{5n^2+2}$

Предел основания: $\lim\limits_{n \to \infty} \ln \left(\frac{4n-1}{3n+2} \right ) = ... = \ln \left ( \frac{4}{3} \right ) $

Так как $\ln \left ( \frac{4}{3} \right ) < 1$

Предел показателя степени, очевидно, равен $\infty$

Исходя из этих двух утверждений, можно сделать вывод, что исходный предел равен $0$ .

-- 31.12.2012, 01:31 --

ИСН
Вы забыли какого-нибудь Михалыча в Вашем намеке

-- 31.12.2012, 01:39 --

Я бы даже указал бы более строже: $ 0 <\ln \left ( \frac{4}{3} \right ) < 1$

[ИСН]

На Михалыча Вы не наработали. Вот если бы тот e-образный театр абсурда продлился ещё на строчку, то да, тут бы понадобился Михалыч - он может вскрыть котельную, когда Вася напился и дрыхнет там.
Справедливо и правильно то, что я сказал в начале. Ваше тоже годится, но требует небольших пояснений: ну ладно, ну предел. Предел меньше единицы. Но у нас-то в руках не предел последовательности, а её 15-й член. Потом 16-й, и т.д. Это же их мы возводим в степень. А они не обязаны быть меньше 1. Или обязаны? А?

[Limit79]

ИСН
Наверное нет.

То есть вот так надо указать:

$\lim\limits_{n \to \infty} \ln \left(\frac{4n-1}{3n+2} \right ) <1 $ ?

-- 31.12.2012, 01:46 --

А, это же тоже самое...

-- 31.12.2012, 01:49 --

Цитата:

Подлогарифменная величина всегда меньше вот этого, к которому стремится?

Да.

Цитата:

значит, логарифм меньше чего?

Меньше единицы.

А вот этого не понял:

Цитата:

значит, всё вместе меньше чего, стремящегося куда?

-- 31.12.2012, 01:51 --

Или же все вместе меньше вот этого предела: $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \ln \left(\frac{4}{3} \right ) \right )^{5n^2+2}$ ?

[ИСН]

Limit79 в сообщении #665560 писал(а):

Или же все вместе меньше вот этого предела

Вот да, я имел в виду это.

[Limit79]

ИСН

То есть вот это равенство: $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \ln \left(\frac{4n-1}{3n+2} \right ) \right )^{5n^2+2} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \ln \left(\frac{4}{3} \right ) \right )^{5n^2+2}$ верное?

Просто меня всегда смущала справедливость вот такой записи, где частично подставляется предельный аргумент, или как это... простите за мой французский

[ИСН]

Ага, понял: Вас смущает, что мы подставили вместо основания его предел. Но мы не делали этого. У него вообще нет предела, ведь оно содержит синус. Или не содержит, я уже не помню и мне наплевать. Мы не исследовали вопрос о его пределе. Ничего не знаем о нём. Только знаем, что само выражение кое-чем ограничено сверху.

[Limit79]

ИСН
Понял, спасибо!

[Cash]

Есть такая теорема о двух милиционерах:
Если $a_n \leqslant x_n \leqslant b_n$ и : $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} b_n = A$, то $ \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A$

В вашем случае $a_n=0$ , $b_n =(\ln \frac{4}{3} )^{5n^2+2}$