Теорема Кантора.

[main.c]

Здравствуйте уважаемые форумчане. Всех с наступающим Новым Годом.
Есть небольшой вопрос по этой теореме, точнее по доказательству.
В учебнике Зорича даётся вот такое вот доказательство:
Покажем что уже множество точек отрезка $[0, 1]$ не является счётным. Предположим, что это множество счётно, значит может быть записано в виде последовательности $x_1, x_2, ..., x_n, ...$. Возьмём точку $x_1$ и зафиксируем отрезок $I_1$ ненулевой длины, не содержащий этой точки. В нём зафиксируем ненулевой отрезок $I_2$ не содержащий точку $x_2$ и когда будет построен отрезок $I_n$, в нём строим отрезок $I_{n+1}$, не содержащий точку $x_{n+1}$. По лемме о вложенных отрезках найдётся точка $c$, принадлежащая всем данным отрезкам. А она по построению не совпадает ни с одной выписанной точкой, следовательно множество не счётно.

И всё бы ничего в этом доказательстве, да только мне непонятно, почему на некотором шаге , скажем $k$, не получится так, что нельзя уже выбрать ненулевой отрезок?

[gris]

По индукции. На первом шаге отрезок ненулевой длины. Предположим, что на $k$-том шаге выбран отрезок ненулевой длины. Разделим его на пять равных частей и рассмотрим второй и четвёртый отрезки. Они не пересекаются и имеют ненулевую длину. Очередная точка не может содержаться одновременно в этих двух отрезках. На $(k+1)$-вом шаге выберем из этих двух тот отрезок, в котором точка не содержится. Он имеет ненулевую длину. По индукции мы можем продолжить процесс выбора бесконечно.

[main.c]

То что это индукция я понял. Мне непонятно, почему деля отрезок скажем на 2 части, ну или 5, как в вашем случае, часть не содержащая точку, не выродится сама в точку? То есть почему я ВСЕГДА могу в ненулевом отрезке взять ненулевой отрезок не содержащий какую-нибудь точку предыдущего отрезка? Заранее извиняюсь если это очевидно, но почему-то для меня это не очевидно

[gris]

Что такое вырождение в точку? На каждом шаге мы получаем отрезок ненулевой длины, у которого концы отличаются. Я описал процесс, при котором мы можем гарантированно получать на $k$-том шаге отрезок длины $5^{-k}$. Ни при одном натуральном $k$ это выражение не равно нулю, то есть концы отрезка не могут быть равны, и его нельзя считать точкой.

[main.c]

Всё, спасибо за ответ.

[gris]

Пардон, я не успел заметить слова про "точку предыдущего отрезка"

Напротив, очередной отрезок как раз принадлежит предыдущему отрезку и полностью состоит из его точек.

Он не содержит $k$-член гипотетической последовательности $x_1,x_2,x_3...$, приведённой Вами в первом сообщении. Под очередной точкой я имел в виду как раз точку из пронумерованной последовательности.