Определение предела последовательности

[Limit79]

А в итоге, вот это верно, или нет? если нет - то почему? если да, то как быть с отрицательным подкоренным выражением?

Limit79 в сообщении #665307 писал(а):

gris

Limit79 в сообщении #665277 писал(а):

По аналогии, доказываю, что $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2+1}{5n^2+1} = \frac{3}{5}$

По определению предела, число $\frac{3}{5}$ будет пределом последовательности $x_{n} = \frac{3n^2+1}{5n^2+1}$, $n\in N$, если $\forall \epsilon > 0$ найдется натуральное число $N$, такое, что для всех $n>N$ выполняется неравенство $|\frac{3n^2+1}{5n^2+1} - \frac{3}{5}| < \epsilon $, то есть $|\frac{15n^2+5-15n^2-3}{25n^2+5}| < \epsilon $ или $ |\frac{2}{25n^2+5} < \epsilon |$.

Оно справедливо для всех $N > \sqrt{\frac{2-5 \epsilon}{25 \epsilon}}$, то есть для всех $n>N=[\sqrt{\frac{2-5 \epsilon}{25 \epsilon}}]$

Если $\epsilon > 1$, то в качестве $N$ можно взять $[\sqrt{\frac{2-5 \epsilon}{25 \epsilon}}] + 1$.

И так, для любого $\epsilon > 0$ указано соответствующее значение $N$, это и доказывает, что $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2+1}{5n^2+1} = \frac{3}{5}$ .

[gris]

Вы правильно делаете, что хотите разобраться во всех мелочах. Понимание того, чем можно пренебречь, а что существенно, возникает именно в результате подробного разбора задач, со всеми умолчаниями и "ну так уж принято".
Но Вы как будто в игнор меня поставили Вот в третий раз подробно излагаю свою позицию.
Формально в Вашем и в приведённом в качестве примера решении есть ошибка. Вы все совершаете неравносильные переходы.
Во-первых, запросто отбрасываете модуль. В данном случае это безболезненно, но стоит чуть поменять условие и такое отношение аукнется.
Во-вторых, Вы упорно переходите от неравенства $n^2> \dfrac{2-5 \varepsilon}{25 \varepsilon}$ к неравенству $n > \sqrt{\dfrac{2-5 \varepsilon}{25 \varepsilon}}$. Такой переход неверен. Нельзя так делать. Почитайте учебник алгебра за 8 класс "Квадратичные неравенства". Этот переход можно делать только при $\varepsilon\leqslant 0.4$. При $\varepsilon > 0.4$ $N$ может быть любым, то есть можно принять его за $1$.

Как бы Вы решили подобную задачу для последовательности $a_n=\dfrac {n^2+1}{n^2+2}$

[Limit79]

gris
Я понимаю про неравнозначность перехода в том неравенстве, но что-то окончательно запутался. Нашел несколько другой пример - сделал по нему.