Определение предела последовательности

[Limit79]

(Оффтоп)

Не могу понять момента, который обведен красным цветом, почему в качестве N мы может взять именно такое число?

[_Ivana]

Если бы автор не прибавил единицу, тогда обязательно нашелся какой-нибудь пытливый пользователь интернета, который тут же поспешил бы выложить на форум очередную ошибку в учебнике - сказано "натуральное число N" а значение получается ноль.

[Limit79]

_Ivana
А, понял, $\epsilon > 0$, то есть $[\frac{1}{\epsilon}] < 1$ и оно не натуральное, а если прибавим единицу, то оно будет натуральное, что и требуется по условию.

Спасибо.

-- 29.12.2012, 23:45 --

По аналогии, доказываю, что $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2+1}{5n^2+1} = \frac{3}{5}$

Получаю, что $N= [\sqrt{\frac{2 - 5 \epsilon}{25 \epsilon}}]$, и если $\epsilon>1$, то под корнем получается отрицательное значение, это же не нормально?

[gris]

Это нормально.
Вспомните, как решаются неравенства вида $x^2>a$.
При $a<0$ неравенство справедливо при любом $x$.
При $a\geqslant 0$ можем извлекать квадратный корень.
То есть в Вашем случае подходит любой член последовательности.

[Cash]

Ну не совсем нормально. Тем более при $\varepsilon = \frac12$ тоже проблема будет и 0 уже не подходит. Нет ли, кстати, ошибки?
Но можно взять любое заведомо большее число. Например $N=\lceil \frac {2}{5 \sqrt{\varepsilon}} \rceil$.

[Limit79]

gris

Limit79 в сообщении #665277 писал(а):

По аналогии, доказываю, что $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2+1}{5n^2+1} = \frac{3}{5}$

По определению предела, число $\frac{3}{5}$ будет пределом последовательности $x_{n} = \frac{3n^2+1}{5n^2+1}$, $n\in N$, если $\forall \epsilon > 0$ найдется натуральное число $N$, такое, что для всех $n>N$ выполняется неравенство $|\frac{3n^2+1}{5n^2+1} - \frac{3}{5}| < \epsilon $, то есть $|\frac{15n^2+5-15n^2-3}{25n^2+5}| < \epsilon $ или $ |\frac{2}{25n^2+5} < \epsilon |$.

Оно справедливо для всех $N > \sqrt{\frac{2-5 \epsilon}{25 \epsilon}}$, то есть для всех $n>N=[\sqrt{\frac{2-5 \epsilon}{25 \epsilon}}]$

Если $\epsilon > 1$, то в качестве $N$ можно взять $[\sqrt{\frac{2-5 \epsilon}{25 \epsilon}}] + 1$.

И так, для любого $\epsilon > 0$ указано соответствующее значение $N$, это и доказывает, что $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2+1}{5n^2+1} = \frac{3}{5}$ .

Вот так верно?

-- 30.12.2012, 00:42 --

Cash
Нет ли ошибки где?

[gris]

Почему же $0$ не подходит?
Во-первых, даже для $n=0\quad |1-3/5|=2/5<1/2$.
Во-вторых, неравенство должно выполняться для $n>N$, так что 1 и не обязательно добавлять (см. оффтоп ТС чуть выше).
В-третьих, единичку всё же добавляют, а в последнем случае её автор почему-то не добавил.

Нет, добавил Но опять сделал ошибку. Нельзя извлекать корень из отрицательного числа. Квадратичные неравенства так не решаются.

[Cash]

Померещилось...
У вас все правильно

[Limit79]

Нашел аналогичный пример, где под корнем тоже получается отрицательное число:

(Оффтоп)

Получается, что там неправильно?

-- 30.12.2012, 00:48 --

gris
Я же добавил единицу (в полном решении).

[gris]

Ещё раз. Обычно предполагают, что эпсилон достаточно мало, чтобы подкоренное выражение было положительно. А в общем виде так нельзя решать квадратичные неравенства.
Неравенство $x^2>y^2$ не равносильно $x>y$.

[ИСН]

Не придирайтесь к ерунде. Во всех этих определениях на самом деле следует читать "...для произвольного маленького $\varepsilon$..." Буквально так не написано, да ведь не всяко слово в строку пишется.

(Оффтоп)

В конце ещё добавлено "...и повесить".

[Limit79]

$\frac{2}{25n^2+5} < \epsilon $

$\frac{1}{25n^2+5} < \frac{\epsilon}{2} $

$25n^2+5 > \frac{2}{\epsilon} $

$25n^2 > \frac{2}{\epsilon}-5 $

$25n^2 > \frac{2}{\epsilon}-5 $

$n^2 > \frac{2-5\epsilon}{25\epsilon} $

-- 30.12.2012, 00:53 --

gris
ИСН

А в данном частном случае, получается, можно? (если $\epsilon$ достаточно мало) .

Все таки единицу необходимо прибавлять или нет?

[gris]

Вот тут надо остановиться и сказать, что правая часть при любом натуральном $n$ положительна, а левая: при $\varepsilon\geqslant 2/5$ неположительна и неравенство выполняеися при любом $n$. В остальных случаях можно аккуратно извлечь квадратный корень.
Но это действительно мелочи, хотя к ним могут и придраться.

А вообще чего экономить, как советовал Cash
надр взять заведомо большее число.
Думать о прибавлении единички надо в других задачах, когда требуют найти минимальный номер, с которого неравенство будет выполняться.

[Limit79]

Все равно не понял того момента - при $\epsilon > 1...$, при нем же будет отрицательное значение под корнем, или же как раз решение неравенства накладывает некоторые ограничения на эпсилон, и оно не может быть больше единицы?

[Cash]

Вы вправе хоть тысячу прибавить, а потом еще и на миллион умножить. Но даже если ничего прибавлять - ничего страшного не произойдет. Разумные люди всё прекрасно поймут. Излишняя строгость здесь не нужна.