Сходимость несобственного интеграла

[smisha]

ИСН
Предел при стремлении к 2 посмотрел. При $\alpha\leqslant2$ он равен нулю.

[ИСН]

-- Сб, 2012-12-29, 13:56 --

Ах да, там же этот.

-- Сб, 2012-12-29, 13:57 --

"Федот, да не тот!" Всё-таки надо смотреть ещё раз, честно.

-- Сб, 2012-12-29, 13:58 --

Короче, говорите по шагам: что, как.

[smisha]

ИСН
Подскажите лучше что там на бесконечности.

[gris]

Совет. Рассмотрите подынтегральную функцию как $(\ln A)^{-\alpha}\cdot \arcsin B$. Начните с бесконечности. Подберите $x^n\sim A$ и $x^k\sim B$. Можно ли следующим шагом применить эквивалентность к $\arcsin B$? Да. К $\ln A$? Нет. Оставляем логарифм. Интеграл после эквивалентной замены берётся в явном виде. Смотрим, при каких альфа он сходится.
Переходим на левый конец.
К чему стремятся $A$ и $B$? Тут пока не будем искать степенную фунукцию. Можно ли применить эквивалентность к $\arcsin B$? Да. К $\ln A$. Да, но надо аргумент логарифма написать в другом виде. Применяем обе эквивалентности.
Учитываем полученное ограничение для альфы. Для лучшего понимания можно сделать очевидную линейную замену. получаем несобственный интергал от степенной функции с несобственность в нуле. Пишем условие сходимости. Решаем линейное неравенство.
...
Ответ.

[smisha]

gris
Вы хотите сказать что $\int\limits_{3}^{+\infty} {\ln^{-\alpha}{\frac{x^2+4}{4x}}}\frac{(x-2)^2}{x^3}$ можно проинтегрировать?

-- 29.12.2012, 13:21 --

К логарифму нельзя применить эквивалентность $\frac{x^2+4}{4x}=1+\frac{(x-2)^2}{4x}$, но здесь $\frac{(x-2)^2}{4x}$ не стремится к нулю.

[gris]

gris писал(а):

Подберите $x^n\sim A$ и $x^k\sim B$.

Пардон. Забыл написать, что подбираем не просто так, а для замены $A$ и $B$ на полученные выражения.
Замените.

gris писал(а):

Можно ли следующим шагом применить эквивалентность к <...>$\ln A$? Нет. Оставляем логарифм. Интеграл после эквивалентной замены берётся в явном виде.

[smisha]

gris
Спасибо большое, разобрался.