Доказать непрерывность функции max(f(x),g(x))

[TehNick]

Докажите,что если $f(x)$ и $g(x)$ - непрерывные на $[a,b]$, то $\max(f(x),g(x))$ - непрерывная на [a,b].
Идея доказательства такая:
Введем новую функцию
$\[f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} g(x),& \mbox{если} $ $g(x)$\ge h(x)$, \\ h(x), & \mbox{если} $ $ g(x)<h(x), \\ \end{array} \right. \]$
По определению $h(x)$ - это $\max(f(x),g(x))$.Так как $f(x)$ и $g(x)$ - непрерывные на $[a,b]$, то в каждой точке $ c \in\ $[a,b]$$ функции определены. Если в точке $c$ $ f(c)\ge g(c) $, то значение функции $h(x)$ будет $f(c)$.
Если в точке $c$ $ f(c) < g(c) $, то значение функции $h(x)$ будет $g(c)$. Отсюда следует,что значением $h(x)$ будет являться непрерывная функция. Так как по определению $h(x)$ = $\max(f(x),g(x))$, то и $\max(f(x),g(x))$ - непрерывна.
Подскажите, пожалуйста, где здесь ошибка?

[nikvic]

TehNick в сообщении #664802 писал(а):

Отсюда следует,что

Ничего отсюда не следует.
Результатом доказательства должен быть "мысленный способ" получения епсилон по данному дельта из двух способов - для первой и второй функции.
====
Оказываеца, немножко наооборот

[bot]

Или выразить максимум через модуль, хотя конечно полезно действовать по определению, разбирая два случая равенство двух функций в точке и их неравенство.

[Maslov]

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #664806 писал(а):

получения епсилон по данному дельта

Наоборот :)

[Chernoknizhnik]

$a+b+|a-b|=2\max\{a,b\}$

[TehNick]

Всем большое спасибо за помощь!!!