компакт в нормированном пространстве

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим компакт $K$ в нормированном пространстве $X$. Доказать, что существует вещественное гильбертово пространство $H$ и ограниченный линейный оператор $A:X\to H$ такой, что $A\mid_{K}$ является гомеоморфизмом между $K$ и $A(K)$.

[sup]

Как мне кажется, задача звучит страшнее, чем является.
Рассмотрим простой пример. Пусть $X = C[0,1]$. Легко сообразить, что в этом случае можно просто положить $H=L_2(0,1)$ и $A = \mathrm{id} $ - тождественный оператор.
Как можно использовать этот пример?
Можно заметить, что элементы $X$ суть "непрерывные функции" на единичной сфере в $X^*$. Правда эта сфера не очень похожа на отрезок $[0,1]$. Но нам и не надо всю сферу, достаточно плотного подмножества. Тут возникает вопрос о сепарабельности. Временно опустив этот вопрос, приходим к представлению $X$ как множеству непрерывных функций на счетном множестве точек. Но к такому же результату можно придти и другим способом. Попробуем сразу же предположить, что $H$ сепарабельно (что очень даже правдоподобно). И пусть $e_k$ - базис в $H$. Ясно, что отображение $A$ имеет вид

$$ Ax = \sum \limits_k (y_k,x)e_k$$

для некоторого семейства $y_k \in X^*$. Ну или немного по другому

$$ Ax = \sum \limits_k a_k(y_k,x)e_k$$

где $\| y_k\|=1$
Выберем какое-нибудь семейство нормированных $y_k \in X^*$ и последовательность $\{ a_k\} \in l_2$. При этих условиях оператор $A$ непрерывно отображает $X$ в $H$. Что надо потребовать, чтобы его сужение на $K$ было гомеоморфизмом. Ну очевидно - единственность на $K$. А именно. Если $x,y \in K$ и $Ax = Ay$, то $x=y$. Вот из этих соображений и надо выбрать семейство $y_k$. Ну это просто. Рассмотрим множество $K_1 = K - K$. В нем выбираем счетное плотное подмножество $x_k$ и для всех этих элементов функционал $y_k$ ну и тд.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #663898 писал(а):

множество $K_1 = K - K$

не понял

[sup]

Это множество разностей элементов из $K$
$K_1 = \{(x-y)| x,y \in K\}$

[Oleg Zubelevich]

я не понял Вашего решения, скорее всего его просто не наблюдается. Ну понятно, что надо строить функционалы которые разделяют точки компакта. У меня при этом построении существенно используется теорема Хна-Банаха.
Утверждение остается верным и если $X$ -- метризуемое локально выпуклое

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #664022 писал(а):

я не понял Вашего решения, скорее всего его просто не наблюдается. У меня при этом построении существенно используется теорема Хна-Банаха.

Строгого решения действительно не наблюдается. Да я его и не предъявлял. Я лишь показал идейную сторону доказательства (одного из возможных, разумеется). Теорема Хана-Банаха, конечно же, появится. Да и компактность я нигде не упоминал. Так что Вы правы. Это лишь схема. Но все остальное, на мой взгляд, не более чем технические детали.

(Оффтоп)

Вы, как я заметил, склонны въедливо описывать все-все-все детали доказательства (и это Ваше право. Я вовсе не считаю это каким-то недостатком), а я нет. Просто далеко не все задачи данного форума на мой взгляд стоят такого пристального внимания.

Более строгое рассуждение выглядит так. Множество $K_1 = K - K$ компактно. А значит вполне ограничено и обладает плотным счетным подмножеством $\{x_k\}$. По теореме Хана-Банаха найдется функционал $y_k$ такой, что $\|y_k\|=1$ и $(y_k,x_k)=\|x_k\|$. Вот это семейство нормированных функционалов мы и положим в определение оператора $A$.
Покажем, что сужение оператора $A$ на $K$ - гомеоморфизм. Для этого надо показать непрерывность обратного. Т.е. для элементов $K$: если $Az \to Ay$ то $z \to y$. Предположим обратное. Пусть это не так. Тогда найдутся последовательности $z_j, y_j \in K$ такие, что $A(z_j -y_j) \to 0$ и $\|z_j -y_j\| > \varepsilon > 0$. В силу компактности легко получаем, что для некоторых $z,y \in K$ справедливо $A(z-y) =0$. Положим $u = z-y$. Заметим, что $u \in K_1$, $\|u\| > \varepsilon$ и $\forall k$ $(y_k,u)=0$. А это противоречит построению $y_k$.

-- Чт дек 27, 2012 10:14:57 --

Должен признать, в этом рассуждении имеется дыра. Доказательство некорректно.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

sup в сообщении #664274 писал(а):

Вы, как я заметил, склонны въедливо описывать все-все-все детали доказательства

потому, что по себе знаю, что стоит не продумать хотя бы одно звено и именно в нем и будет засада

Для каждого $n\in\mathbb{N}$ рассмотрим $1/n-$сеть $x_1,\ldots,x_k\in K$ такую, что $m=\min_{i\ne j}\|x_i-x_j\|>0$. По теореме Хана-Банаха выберем непрерывные фунционалы $f_{ij}$ такие, что $f_{ij} (B_{m/4}(x_i) )\cap f_{ij} (B_{m/4}(x_j) )=\emptyset$ . ($B_{r}(x)$ -- открытый шар радиуса $r$ с центром в $x$.) Отнормируем каждый функционал и возьмем все функционалы для для всех $n$. Это и будут функционалы разделяющие точки компакта.

[sup]

Судя по всему, дальше Вы применяете ту же конструкцию для оператора $A$ что и я. Ваш метод построения функционалов более наглядный и убедительный. Но под косяком у себя я подразумевал нечто другое. Было показано, что для элементов $K$ если $Az \to Ay$, то $z \to y$. Мне показалось, что этого еще мало для непрерывности обратного оператора. Поскольку легко привести примеры, когда для некоторых $y, z_j \in K$
$\frac {\|z_j-y\|}{\|Az_j-Ay\|} \to \infty$
Можно ли избежать такой неприятности в общем случае мне неизвестно.

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Непрерывная биекция компакта (хаусдорфового) является гомеоморфизмом.