Канонический вид УРЧП

[Ward]

Здравствуйте уважаемые друзья!

Привести к каноническому виду следующее уравнение: $u_{xy}-u_{xz}+u_x+u_y-u_z=0$
Я делаю так: Составляю характеристическую квадратичную форму и получаю:

$$Q=\lambda_1\lambda_2-\lambda_1\lambda_3=\left(\lambda_1+\dfrac{\lambda_2}{2}-\dfrac{\lambda_3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\lambda_2}{2}-\dfrac{\lambda_3}{2}\right)^2-\lambda_1^2$$

Делаем замену и получаем:

$$\begin{cases} \mu_1=\lambda_1+\dfrac{\lambda_2}{2}-\dfrac{\lambda_3}{2} \\ \mu_2=\dfrac{\lambda_2}{2}-\dfrac{\lambda_3}{2} \\ \mu_3=\lambda_1 \end{cases}$$

Пишем все это хозяйство в матричной форме и получаем:

$$\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \mu_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 1/2 & -1/2\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix}$$

Вот эту матрицу я транспонировал и получил такую: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1/2 & 1/2 & 0\\ -1/2 & -1/2 & 0 \end{pmatrix}$
А вот обратить эту матрицу я уже никак не могу так как она вырождена.

Что делать в этой ситуации подскажите пожалуйста?

[wronskian]

Ward
обсуждалось же, ищите другой канонический вид К.Ф., метод Лагранжа даёт неоднозначный результат, позволяющий грубо оценить саму форм (индексы инерции и т.д.). Попробуйте выделять полные квадраты в другом порядке, может что получше получится. Ортогональное преобразование сразу отметается.

[Munin]

Как насчёт базиса
$\xi=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(-x+y-z)$
$\eta=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(y+z)$
$\zeta=\tfrac{1}{\sqrt{6}}(2x+y-z)$
?

[Ward]

Munin
извиняюсь, а как Вы его получили можете рассказать?
Ответ в книге такой $u_{\xi\xi}-u_{\eta\eta}+2u_{\xi}=0,$ где $\xi=x+y, \eta=y-x, \zeta=y+z$
Со вчерашнего дня сижу и пытаюсь решить ее, но никак не получается
Я пытаюсь $\lambda_1\lambda_2-\lambda_1\lambda_3$ написать как полные квадраты, но ничего не получается. А выражение $\left(\lambda_1+\frac{\lambda_2}{2}-\frac{\lambda_3}{2}\right)^2-\left(\frac{\lambda_2}{2}-\frac{\lambda_3}{2}\right)^2-\lambda_1^2$ как Вы видите плохая.

[Ward]

Помогите пожалуйста

[Munin]

Ward в сообщении #664323 писал(а):

извиняюсь, а как Вы его получили можете рассказать?

Пространственным вооображением. Представил себе квадратичную форму, натянутую на векторы $(1,1,0)$ (из слагаемого $u_{xy}$) и $(1,0,-1)$ (из слагаемого $-u_{xz}$), и ввёл диагонализирующий её базис. Самое трудное было коэффициенты посчитать, но тут я сжульничал: вообще-то именно такой базис мне хорошо известен из другой области.

wronskian же вам сказал, используйте другой метод, а не топчитесь на старом (обломившем вас). Я, если честно, в методе Лагранжа ни бум-бум. Кстати, википедия сразу советует обратиться к суммам и разностям переменных, я думаю, красиво будет взять $u=y+z,$ $v=y-z.$ Просто потому, что $y$ и $z$ симметрично в конструкцию входят.

[Ward]

Я пытался делать так:
Для уравнения $u_{xy}-u_{xz}+u_{x}+u_{y}-u_{z}=0$ характеристическая К.Ф. имеет вид $\lambda_1\lambda_2-\lambda_1\lambda_3$ и я выписал матрицу

$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

и нашел собственные значения этой матрицы, которые равны $0,\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и нашел для кажого из них собственные вектора, которые соответственно равны $\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right),$ $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1, -1\right)$ и $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -1, 1\right)$
Тогда квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид

$$0\mu_1^2-\frac{\sqrt{2}}{2}\mu_2^2+\frac{\sqrt{2}}{2}\mu_2^2$$

причем формула преобразования координат задается так:

$$\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \mu_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & -1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -1 & 1 \end{pmatrix}^{T}\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix}$$

Но в книге ответ совсем другой. Объясните пожалуйста как тут тогда правильно делать?

[Munin]

Общий ход правильный, только собственные вектора у меня, например, другие получились.

Ответ в книге может отличаться с точностью до перестановок координат.

[Ward]

Уважаемый Munin
Я например собственный вектор для собственного значения $\lambda=0$ так получил: рассмотрел матричное уравнение

$$\begin{pmatrix} 0 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Отсюда получаю, что $x_1=0,$ $x_2=x_3$ и получаю $(0, x_2, x_2)=x_2(0, 1, 1)$ нормирую этот вектор т.е. делю его на его длину, а именно $x_2\sqrt{2}$ и получаю $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$.
Аналогично нахожу собственные векторы для других собственных значений.
Верно ведь?

-- 28.12.2012, 03:26 --

Исходя из предыдущих сообщений я получил следующее преобразование координат:

$$\begin{cases} \xi=\frac{\sqrt{2}}{2}(y + z) \\ \eta=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{1}{4}(y - z) \\ \zeta=\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{1}{4}(y - z) \end{cases}$$

Посчитав производные я пришел к тому, что уравнение $u_{xy}-u_{xz}+u_{x}+u_{y}-u_{z}=0$ сводится к такому уравнению

$$\dfrac{\sqrt{2}}{4}u_{\eta\eta}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}u_{\zeta\zeta}+u_{\zeta}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\right)+u_{\eta}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\right)=0$$

Верно ли?
P.S. На ответ в книге вообще не смахивает

[Munin]

К собственному вектору $(0,1,1)$ у меня никаких претензий. Мне другие не нравятся.

-- 28.12.2012 09:15:34 --

Мои, как легко заметить, имеют вид $(-1,1,-1),$ $(0,1,1),$ $(2,1,-1).$

-- 28.12.2012 09:22:23 --

Нет, чёрт. Я, кажется, крупно наврал.

-- 28.12.2012 09:24:53 --

Да, ваш базис правильный.

-- 28.12.2012 09:35:28 --

Ward в сообщении #664695 писал(а):

Посчитав производные я пришел к тому, что уравнение $u_{xy}-u_{xz}+u_{x}+u_{y}-u_{z}=0$ сводится к такому уравнению

$$\dfrac{\sqrt{2}}{4}u_{\eta\eta}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}u_{\zeta\zeta}+u_{\zeta}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\right)+u_{\eta}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\right)=0$$

Верно ли? :-(
P.S. На ответ в книге вообще не смахивает :facepalm:

Главный символ ($u_{\eta\eta}-u_{\zeta\zeta}$) совпадает, так что ответ годится, имхо. В книге даны ненормированные и даже неортогонализированные координаты, так что несовпадение понятно.

Заодно, совпадает то, что третья переменная (у вас $\xi,$ в книге $\zeta$) выпала.

Извините, что заставил лишнюю работу делать.

[Ward]

Munin
не извиняйтесь! ничего страшного! зато хотя немного въехал в тему
Получается, что мой ответ (канонический вид уравнения и преобразование координат) правильное?

[Munin]

Да, я же уже сказал, правильно (если я опять не ошибаюсь).