Задача по теории полугрупп из Тьеррена

[Barabashka]

Доброго времени суток.

Пусть $S$ - такая полугруппа, что если $ab = cd$ $(a,b,c,d \in S)$, то или $a = c$, или $b = d$. Тогда $S$ - либо полугруппа левых нулей, либо полугруппа правых нулей. (Тьеррен).

Не знаю с какой стороны подойти. Можно подсказку. Спасибо.

[Sonic86]

Уточните, пожалуйста, термин "левый нуль":
1. Это левая единица: $e:(\forall x)ex=x$
1. Это левый нуль: $z:(\forall x)zx=z$

[Barabashka]

Да, верно.

[Sonic86]

Вот если бы всегда было $a=c$, либо всегда было $b=d$, тогда легко: получаем $(\forall a,b,d) ab=ad=aa$. Обозначаем $aa=z$ и доказываем, что $z$ - левый нуль (да и вообще - двусторонний нуль даже). Хотя тогда не факт, что тогда $a$ - левый нуль

-- Чт дек 27, 2012 11:20:28 --

А не, кажется все просто: пусть верно условие. Рассмотри 2 случая: $a=c$, либо $a\neq c$. В 1-м случае получаем, что любой $a$ - левый нуль. Во 2-м случае получаем, что любой $b$ - правый нуль. Все. Остается только доказать, что если в полугруппе есть все элементы являются левыми и правыми нулями, то это просто $\{0\}$.

[Barabashka]

Спасибо.

1. $ab=cd\mapsto ab=ad$
2. $(ab)S=a(bS)=(ad)S=a(dS)$ - подпадает под условия "если .., то ..."
3. значит $ab=a=ad$, т.е. из $ab=ad$ всегда следует $ab=a$

рассмотрим $(ab)S=aS\mapsto a(bS) =aS$ - подпадает под условия "если .., то ..." ($ab=cd\mapsto ab=ad$)
таким образом $a(bS)=aS=a$

двойственным образом доказивается для случая $ab=cd\mapsto ab=cb$

если $|S|>1$, то "или .., или ..." является "исключающим или"

Думаю верно.

я думал, что надо вывести "то" из "если". Я бы перефразировал условие задачи как "в полугруппе S существуют только равенства вида или $ab=ad$", или "$ab=cb$"

Верно?

[Deggial]

Barabashka, оформляйте формулы правильно: каждая формла целиком заключается в одну пару долларов. Вот так:

Barabashka в сообщении #664749 писал(а):

$|S|$ > 1

Barabashka в сообщении #664749 писал(а):

$ab$ = $ad$

писать нельзя

Формулы я поправил. В следующий раз утащу тему в Карантин.

[Barabashka]

Хорошо, сейчас исправлю.
А, уже исправлено.

[Barabashka]

не $\forall s \in S$ доказал.

Все еще проще. Снова. Так как $S$ - полугруппа, т.е. бинарная операция ассоциативна. Значит $(ab)c = a(bc)$, из условия следует $ab = a$ причем $\forall b \in S$, как показано. Так как ассоциативность выполняется для любоий тройки, то тогда $aS = a, \forall a \in S$

Теперь, вроде, все. Верно?