Эйлеров интеграл и несобственный интеграл

[Fabif]

Привет! Подскажите, помогите, пожлуйста, решить два следующих интеграла, бьюсь долго с ними...

2. Вычислите интеграл, используя интеграл Эйлера, (предварительно определив область существования)

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac {arctg\, x} {x^m} \, dx\, .$$

4. Найти преобразование Фурье функции

$$f(x)= \frac {\sin x} {1+x^4} \, .$$

[Gordmit]

2. Область существования Вы, вероятно, легко вычислили: $1<m<2$.
А далее удобно воспользоваться следующим представлением бета-функции Эйлера:

$$\mathrm{B}(\alpha,\beta)=\int\limits_0^\infty \frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha+\beta}}\,dy$$

, которое получается из ее определения заменой $x=\dfrac{y}{1+y}$.
Далее свести Ваш интеграл к этому уже не представляет труда.

Добавлено спустя 5 минут 53 секунды:

4. Здесь все сводится к вычислению интегралов

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix(y-1)}}{1+x^4}\,dx$$

и

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-ix(y+1)}}{1+x^4}\,dx$$

, которые можно посчитать, например, через вычеты.

[Pyphagor]

Через какие еще вычеты???

Добавлено спустя 12 минут 41 секунду:

В смысле комплексную функцию F(x) мы разлагаем
мнимую и действительную части, и интегрируем их по отдельности
(т.е. i - выступает как const)? Законно ли это?

[нг]

Поскольку картинки резко ухудшают читаемость сообщений, правила требуют набора формул при помощи тега [math]. тема переносится в «Карантин». Пожалуйста, исправьте, и сообщите ЛС мне или любому модератору.

dm:

Вернул.

[Fabif]

Gordmit, давай на "ты", если не против.

Спасибо огромное за оригинальный ход в 4ом! Так действовать и буду!

В 2ом с $m>1$ понятно. Поясни, пожалуйста, как ты получил $m<2$? это какое-то свойство?
Как перейти от

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac {arctg\, x} {x^m} \, dx\, $$

к выведенной тобой B-функции? Я пробовал через интегрированние по частям, и замены разные делал, никак не получается.

[Brukvalub]

Fabif писал(а):

Поясни, пожалуйста, как ты получил $m<2$? это какое-то свойство?

- это следует из требования сходимости интеграла в 0.

Fabif писал(а):

Я пробовал через интегрированние по частям

- плохо пробовал.

[Fabif]

Какие именно части нужно обозначать?

[Brukvalub]

Fabif писал(а):

Какие именно части нужно обозначать?

Правую, или левую.

[Fabif]

Люди, подскажите, пожалуйста, что именно в интеграле

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac {arctg\, x} {x^m} \, dx\, $$

нужно обазначать за

$$u$$

, что за

$$v$$

?

[Brukvalub]

При

\[m \ne 1\]

имеем:

\[\int\limits_0^\infty {\frac{{arctg\,x}}{{x^m }}} dx = \frac{1}{{1 - m}}\int\limits_0^\infty {arctg\,x\,} dx^{1 - m} \]

Далее -думаем...