Проверить компактность множества

[amfisat]

Всем привет!

Мне бы хотелось спросить совета по поводу того, как решать подобного рода задачи (именно способ интересует).

Есть множество: $K = \{\{x_n\} \in l^1 : \sup {n|x_n|} \leqslant 1\}$
Надо проверить, компактно оно или нет.

Интуитивно мне кажется, что здесь компактности нет. Но надо доказать это (или опровергнуть) формально. Я так понимаю, что надо делать как-то так: строим $\varepsilon$-сеть для первых $N$ членов последовательности $\{x_n\}$. А что делать с "хвостом" последовательности - непонятно.
Или я вообще как-то не так действую? И можно по-другому делать?

Буду рад любым наводкам.

Спасибо.

[Someone]

amfisat в сообщении #663625 писал(а):

А что делать с "хвостом" последовательности - непонятно.

Возьмите такое $N$, чтобы "хвост" был меньше $\varepsilon$.

[amfisat]

Да, это понятно, но как такое N выбрать? - у меня не получается (почему я и предположил, что не компакт).

[Oleg Zubelevich]

это множество даже неограничено

[nikvic]

amfisat в сообщении #663625 писал(а):

Но надо доказать это (или опровергнуть) формально.

А чем не подходит гармоническая последовательность в качестве контрпримера?

[Someone]

Ах, да, там же $l^1$. Что-то я сразу в условие не вник. Тогда надо указать бесконечное подмножество, в котором любая пара точек находится на расстоянии $>\varepsilon$ для какого-нибудь $\varepsilon>0$. Можно взять, например, $\varepsilon=1$.

[amfisat]

Someone в сообщении #663787 писал(а):

Тогда надо указать бесконечное подмножество, в котором любая пара точек находится на расстоянии $>\varepsilon$ для какого-нибудь $\varepsilon>0$[/math].

Если честно, то как раз этот пункт меня и смущает - я не понимаю, как выбирается такое множество.

[Someone]

Здесь уже трудно подсказать так, чтобы не получилось практически полного решения задачи.
Ну, например, при $\varepsilon=1$ можно взять точки $(0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots)$, $(1,1/2,0,0,0,0,0,0,\ldots)$, $(0,0,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,0,\ldots)$,... Попробуйте продолжить.

[amfisat]

Someone в сообщении #664188 писал(а):

при $\varepsilon=1$ можно взять точки $(0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots)$, $(1,1/2,0,0,0,0,0,0,\ldots)$, $(0,0,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,0,\ldots)$,...

Someone
Спасибо за наводку.

Я правильно понимаю мысль: такая последовательность точек из данного множества не фундаментальна, т.е. в ней нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность и, значит, множество, содержащее ее, некомпактно?

[Someone]

amfisat в сообщении #664458 писал(а):

такая последовательность точек из данного множества не фундаментальна, т.е. в ней нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность и, значит, множество, содержащее ее, некомпактно?

Нехорошо излагаете. Начхать, что она не фундаментальна. Важно то, что она бесконечна, но из неё нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность.