Канонический вид

[Kid_Dynamite]

wronskian
недавно начал изучение этих вещей и честно говоря не знаю

[wronskian]

Kid_Dynamite
В каноническом виде ДУЧП могут быть или только вторые частные производные, или только смешанные. У Вас же явно присутствуют и те, и другие.
Подумайте, осталось сделать совсем немного. Сравните Вашу запись характеристической квадратичной формы в каноническом виде, а именно выражения для $\mu_1, \mu_2, \mu_3$ с записью новых координат $\xi, \eta, \zeta$.

Ведь Ваша К.Ф. после ортогонального преобразования примет вид

$$\[Q({\mu _1},{\mu _2},{\mu _3}) = \mu _1^2 + \mu _2^2 + \mu _3^2\]$$

(Оффтоп)

Что-то поздно я заметил, что это №2.1(1) из Владимирова

[Kid_Dynamite]

wronskian
Вообще-то это будет уже другая "функция", а именно:

$$\tilde{Q}(\mu_1, \mu_2, \mu_3)=\mu_1^2+\mu_2^2+\mu_3^2$$

Отсюда пока ничего не видно

[wronskian]

Kid_Dynamite
перейдите обратно от $\mu_i$ к производным. Вы будете смеяться, когда узнаете насколько это очевидно


Вот Вы составляли в самом начале квадратичную форму. Теперь же задача полностью обратная.

[Kid_Dynamite]

Наша квадратичная форма имеет вид $\tilde{Q}(\mu_1, \mu_2, \mu_3)=\mu_1^2+\mu_2^2+\mu_3^2$
Перейдем к производным и получим, что:

$$v_{\xi\xi}+v_{\eta\eta}+v_{\zeta\zeta}=0$$

Я не могу понять почему в индексах мы должны писать соответственно $\xi, \eta, \zeta$? В вышенаписанном уравнении будет другая функция или та же самая?

[wronskian]

Kid_Dynamite
та же самая, из-за инвариантности коэффициентов.

[Kid_Dynamite]

wronskian
Эта уравнение можно было сразу выписать после приведения К.Ф. к каноническому. А зачем тогда мы занимались поисками $\xi, \eta, \zeta$ через $x, y, z$ ?

[wronskian]

Kid_Dynamite
это Ваша замена для $x,y,z$. Чтобы найти невырожденное преобразование, приводящее к каноническому виду. Мало написать уравнение - надо найти преобразование :) Извиняюсь за каламбур

[Kid_Dynamite]

wronskian
А почему в некоторых книгах явно вычисляют $u_x, u_{xx}$ и т.д.?

[wronskian]

Kid_Dynamite
а вот когда надо будет приводить ДУЧП к каноническому виду в области, там уже надо будет считать производные

PS. Например в №2.2 из Владимирова надо как раз будет приводить к каноническому виду методом характеристик, причем тип уравнения может меняться.

[Kid_Dynamite]

Теперь уже немного понятно!
Спасибо Вам большое!

[wronskian]

Kid_Dynamite
Пожалуйста А вообще, действительно, посмотрите задачник по УМФ Владимирова (если, конечно, еще не смотрели). Там много хороших примеров на приведение к каноническому виду.