В Фихтенгольце опечатка и вольфрам глючит?

[Aritaborian]

number_one,

(Оффтоп)

ОК, прошу прощения за наезды ;-)

[number_one]

bot в сообщении #663380 писал(а):

number_one в сообщении #663359 писал(а):

А почему от нуля до стопицот сходится точно?

От нуля до стопицот надо рассматривать исходный интеграл - нет никакой нужды преобразовывать его в сумму.

А почему надо? Ведь изначально в задаче рассматривается $\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^{\mu}+\sin x}dx$, то есть пределы интегрирования - от нуля до бесконечности, а значит имеет смысл сравнивать с интегралами от нуля до бесконечности.

Просто меня смущает тот факт, что $\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^p}$ не сходится ни при каком параметре $p$, а у нас идут почему-то сравнения с такими же интегралами, только чуть-чуть подредактированными, то есть c $\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^{\mu}(x^{\mu}+1)} $

-- 25.12.2012, 13:41 --

Aritaborian в сообщении #663505 писал(а):

number_one,

(Оффтоп)

ОК, прошу прощения за наезды

Да, ничего страшного, вот эту задачу очень хочется понять, в которой опечатка, но чем-то заменить ее не получается((

[ewert]

number_one в сообщении #663510 писал(а):

Ведь изначально в задаче рассматривается $\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^{\mu}+\sin x}dx$, то есть пределы интегрирования - от нуля до бесконечности, а значит имеет смысл сравнивать с интегралами от нуля до бесконечности.

Не имеет. Комбинировать можно при желании что угодно и как угодно, была бы лишь польза для дела. В данном случае исходный интеграл явно хорош в нуле, но непонятен на бесконечности. Новые же два интеграла, напротив, вполне понятны на бесконечности, но нехороши в нуле. Ну так и надо с самого начала отрезать от исходного интеграла начальный кусок, с которым всё ясно, и уже только оставшийся хвост разбивать на два новых интеграла.

[number_one]

ewert в сообщении #663517 писал(а):

number_one в сообщении #663510 писал(а):

Ведь изначально в задаче рассматривается $\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^{\mu}+\sin x}dx$, то есть пределы интегрирования - от нуля до бесконечности, а значит имеет смысл сравнивать с интегралами от нуля до бесконечности.

Не имеет. Комбинировать можно при желании что угодно и как угодно, была бы лишь польза для дела. В данном случае исходный интеграл явно хорош в нуле, но непонятен на бесконечности. Новые же два интеграла, напротив, вполне понятны на бесконечности, но нехороши в нуле. Ну так и надо с самого начала отрезать от исходного интеграла начальный кусок, с которым всё ясно, и уже только оставшийся хвост разбивать на два новых интеграла.

А чем этот интеграл хорош в нуле? Мне что-то не очевидна сходимость:

$\displaystyle\int\limits_{0}^{100500}\dfrac{\sin x}{x^{\mu}+\sin x}dx$

Там же в нуле особенность и интеграл потому -- несобственный. А как устранить эту особенность -- пока что не очевидно.

[ewert]

Раскройте неопределённость в нуле. При $\mu<1$, при $\mu=1$ и при $\mu>1$ она раскрывается по-разному, но во всех трёх случаях хорошо.

[RIP]

Можно также заметить, что функция зажата между $0$ и $1$ (вблизи $0$).

[number_one]

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\dfrac{\sin x}{x^{\mu}+\sin x}dx\;\;\;\;\;\;(*)$

1) $\mu<1$

По признаку сравнения c $\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\dfrac{1}{x^{\mu}}\;\;dx$ , интеграл $(*)$ - сходится, так как на $[0;\pi]$:

$\dfrac{\sin x}{x^{\mu}+\sin x}\leqslant \dfrac{\sin x}{x^{\mu}}\leqslant \dfrac{1}{x^{\mu}}$

А интеграл $\int\limits_{0}^{\pi}\dfrac{1}{x^{\mu}}dx$ сходится

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x^{\mu}+\sin x}:\dfrac{1}{x^{\mu}}=0$

2) $\mu>1$

$\dfrac{\sin x}{x^{\mu}+\sin x}\leqslant \dfrac{\sin x}{x^{\mu}}\leqslant \dfrac{1}{x^{\mu}}$

3) $\mu=1$

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\dfrac{\sin x}{x+\sin x}=\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\dfrac{\sin x}{x\Big(1+\frac{\sin x}{x}\Big)}\;dx$

Где-то тут мельком замечательных предел виден

Что-то в последних двух случаях - не получается(((

[Xaositect]

В последних двух случаях в нуле конечный предел существует.

[number_one]

RIP в сообщении #663595 писал(а):

Можно также заметить, что функция зажата между $0$ и $1$ (вблизи $0$).

Но ведь из ограниченности не следует сходимость....

-- 25.12.2012, 17:31 --

Xaositect в сообщении #663631 писал(а):

В последних двух случаях в нуле конечный предел существует.

Согласен, а как это связать со сходимостью?

[Xaositect]

number_one в сообщении #663632 писал(а):

Согласен, а как это связать со сходимостью?

Это стандартная вещь же. Если функция непрерывна на полуинтервале (0,a] и имеет предел в нуле, то несобственный интеграл сходится.
Доказывается например так: доопределяем в нуле по непрерывности, функция будет интегрируема на отрезке [0,a], и предел в определении несобственного интеграла будет равен интегралу от доопределенной функции.

[number_one]

Xaositect в сообщении #663642 писал(а):

number_one в сообщении #663632 писал(а):

Согласен, а как это связать со сходимостью?

Это стандартная вещь же. Если функция непрерывна на полуинтервале (0,a] и имеет предел в нуле, то несобственный интеграл сходится.
Доказывается например так: доопределяем в нуле по непрерывности, функция будет интегрируема на отрезке [0,a], и предел в определении несобственного интеграла будет равен интегралу от доопределенной функции.

Спасибо!