Задачка на геометрию треугольника...

[Иван Тупков]

Вот собственно задача:
Отрезки, которые соединяют основания высот остроугольного треугольника ABC, равны 5, 12 и 13. Найти площадь треугольника ABC.

Она предлагалась на заочной МФТИшной олимпиаде этого года, а так же подобные вариации (треугольник, построенный на основаниях высот) были на МГУшных вступительных экзаменах...

Как за нее браться просто не знаю, вроде бы формулировка такая простая, не накрученная, но решения я так и не увидел, помогите пжлста, так же интересует вопрос, можно ли ее разрешить, использую центр масс, у меня была идея ортоцентр принять за центр масс обоих треугольников, а потом как-нибудь из соотношений попытаться что-нибудь выразить, только не понятно, что есть точка пересечения высот первого треугольника для второго, достроенного...

[Brukvalub]

Докажите, а затем воспользуйтесь тем, что прямая, соединяющая основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла двух этих треугольников.

[Lion]

Несколько идей решения:

Во-первых, ортотреугольник получается прямоугольным, с площадью 30.
Во-вторых, скорее всего надо использовать подобие треугольников $AH_1H_2$, ..., и $ABC$.
В-третьих, по-моему, можно выразить радиус описанной окружности треугольника $ABC$, и посчитать площадь через него.

[Иван Тупков]

Спасибо за идеи, сейчас попробовал описать окржность, заметил кое-что интересное... Но все же задача для меня совсем нетривиальная... Решаю дальше. На стороны ортотреугольника я внимания не обращал... Просто хотелось в общем виде найти решение, но здесь видимо, прямоугольный треугольник значительно упрощает жизнь...

[RIP]

Вроде бы можно решить для произвольного треугольника, прямо по подсказке Brukvalubа. Углы $\triangle ABC$ легко выразить через углы ортотреугольника, после чего легко найти и стороны $\triangle ABC$. По-моему, прямоугольность практически ничем не помогает, разве что вычислений чуть поменьше.

[Brukvalub]

Иван Тупков писал(а):

Просто хотелось в общем виде найти решение

И это можно сделать, правда формула получится весьма громоздкая.

[RIP]

P.S.

Иван Тупков писал(а):

...только не понятно, что есть точка пересечения высот первого треугольника для второго, достроенного...

Точка пересечения биссектрис.

[JIogin]

Brukvalub в сообщении #70626 писал(а):

Докажите, а затем воспользуйтесь тем, что прямая, соединяющая основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла двух этих треугольников.

помогите доказать это

[gris]

Чертёж.
Обозначение отрезков.
Два прямоугольных треугольника.
Определение косинуса общего острого угла.
Признак подобия через угол и пропорциональность двух сторон.

(Это я для предыдущего оратора.)

[Батороев]

Сдается мне, что общее решение:

$S=S_1\cdot\dfrac{R}{r}$,

где $S_1$ - площадь треугольника $A_1B_1C_1$, стороны которого соединяют высоты треугольника $ABC$, $R$ - радиус окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$, $r$ - радиус окружности, вписанной в треугольник $A_1B_1C_1$.

-- 24 дек 2012 16:16 --

Хотя, $R$ то неизвестен! Тоды - "Ой!"

-- 24 дек 2012 16:23 --

Т.к. для прямоугольных треугольников $A_1B_1C_1$
$R$ находится легко, то решение для них, вроде бы, годится.

[matidiot]

Задача решается элементарно в одну строчку, если воспользоваться выражением для площади треугольника $ABC$ через периметр его ортотреугольника $A_1B_1C_1$: $S=(a_1+b_1+c_1) \cdot \dfrac{R}{2}$, где $R$ - радиус окружности,описанной вокруг $ABC$, совпадает с гипотенузой ортотреугольника.