Сходимость несобственного интеграла

[smisha]

$\int\limits_{2}^{+\infty}\ln^{-\alpha}{\frac{x^2+4}{4x}}\arcsin{\frac{(x-2)^2}{x^3}}$
Никак не могу разобраться, как его исследовать. Он сходится при $1<\alpha<\frac {3}{2}$, в ответах так.

[demontagnac]

Именные признаки сходимости несобственных интегралов знаете?

[SpBTimes]

Поглядите на аисмптотику при больших $x$, сразу все станет понятно

[smisha]

demontagnac
Подынтегральная функция знакопостоянна, поэтому тут только признаки сравнения можно использовать.
SpBTimes
Посмотрел на график, ничего не прояснилось.

[SpBTimes]

Не график, а ручками.

[smisha]

SpBTimes
При больших x функция будет приближаться к y=0. Какой можно из этого сделать вывод?

[SpBTimes]

эквивалентный член какой-нибудь поищите

[smisha]

SpBTimes
Arcsin эквивалентен своему аргументу.

[smisha]

Больше нет ни у кого мыслей?

[gris]

Надо разбить интеграл на два и рассмотреть сходимость на бесконечности и в точке $x=2$, где может быть особенность. На интервале от, например, $3$ до бесконечности интеграл можно сравнить с явно берущимся и получить необходимые условия на альфу. А потом заняться поведением подынтегральной функции на левом конце.

[smisha]

gris
Вот именно, что у меня сравнить не получается, не могу подобрать нужную оценку. Чем логарифм можно оценить снизу на бесконечности?

[Cash]

На бесконечности его не нужно оценивать. Оцените всё остальное.

-- Пт дек 28, 2012 23:28:43 --

Аргумент у логарифма, конечно же нужен попроще.

[gris]

Там отлично всё получается. Именно такой ответ. Задача на знание основных эквивалентностей и на сходимость несобственного интеграла от степенной функции в двух случаях "несобственности".
"Сравнить" означает подобрать эквивалентную степенную (в данном случае) функцию: такую, чтобы соответствующий предел отношения функция равнялся единице (это даже слишком, но в данном случае подходит).

[smisha]

gris
Я разбиваю исходный интеграл на два: от 2 до 3, от 3 до бесконечности.
В первом применяю пару эквивалентностей. Итого при $\alpha \leqslant2$ не является несобственным, а при $\alpha>2$ он сходится.
Во втором интеграле можно заменить на эквивалентное только arcsin, дальше оценивать логарифм.
Какие его можно оценить?

[ИСН]

smisha в сообщении #665003 писал(а):

Итого при $\alpha \leqslant2$ не является несобственным, а при $\alpha>2$ он сходится.

Вот это место поподробнее, пожалуйста.

-- Сб, 2012-12-29, 13:34 --

Логарифм не надо оценивать. Логарифм надо оценивать логарифмом же. Но это потом.