Найти полные дифференциалы первого и второго порядков

[Городецкий Павел]

Найти полные дифференциалы первого и второго порядка для функции

\[ u = f\left( {\sqrt {x^2 + y^2 } } \right) \]

$x,y$ - независимые переменные
Первый дифференциал:

\[ du = f'd\left( {\sqrt {x^2 + y^2 } } \right) = f'\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} \]

Второй дифференциал:

\[ d^2 u = d(f')\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} + f'd\left( {\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }}} \right) \]

При этом

\[ d(f') = f''\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} \]

\[ d\left( {\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }}} \right) = \frac{{(d^2 x + d^2 y) - \frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }}}}{{x^2 + y^2 }} = \frac{{(d^2 x + d^2 y)\sqrt {x^2 + y^2 } - (xdx + ydy)}}{{\sqrt {(x^2 + y^2 )^3 } }} =... \]

в ответе эта часть равна

\[ ... = \frac{{(ydx - xdy)^2 }}{{\sqrt {(x^2 + y^2 )^3 } }} \]

Я не совсем понимаю как так упростилось - может я не правильно продифференцировал

[RIP]

Во-первых, не $d^2x$, а $dx^2(:=(dx)^2)$.
Во вторых,

$$d\left(\frac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\frac{d(x\,dx+y\,dy)}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x\,dx+y\,dy)d\left(\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\ldots$$

Если всё правильно посчитаете, то всё получится.

[Городецкий Павел]

Спасибо все получилось