Доказательство одновременной сходимости/расходимости

[number_one]

Подскажите, пожалуйста, -- как доказать, что \displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin^2 x}{x^p}\;dx сходится/расходится при тех же параметрах $p$, что и интеграл \displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{x^{p}}\;dx

В одну сторону понятно, что из расходимости \displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin^2 x}{x^p}\;dx следует расходимость \displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{x^{p}}\;dx

А как доказать в остальных случаях? С чего начать?

[Someone]

$$\int\limits_{\pi n}^{\pi(n+1)}\frac{\sin^2x}{x^p}dx\geqslant\int\limits_{\pi n}^{\pi(n+1)}\frac{\sin^2x}{(\pi(n+1))^p}dx$$

[nnosipov]

number_one в сообщении #662935 писал(а):

что и интеграл $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{x^{p}}\;dx$

А при каких $p$ этот интеграл сходится? Можете указать хотя бы одно значение?

[number_one]

nnosipov в сообщении #662970 писал(а):

number_one в сообщении #662935 писал(а):

что и интеграл $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{x^{p}}\;dx$

А при каких $p$ этот интеграл сходится? Можете указать хотя бы одно значение?

Упс, должно быть так

Доказать, что для любого $a>0$ интеграл \displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac{\sin^2 x}{x^p}\;dx сходится/расходится при тех же параметрах $p$, что и интеграл \displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac{1}{x^{p}}\;dx

-- 24.12.2012, 15:19 --

Someone в сообщении #662941 писал(а):

$$\int\limits_{\pi n}^{\pi(n+1)}\frac{\sin^2x}{x^p}dx\geqslant\int\limits_{\pi n}^{\pi(n+1)}\frac{\sin^2x}{(\pi(n+1))^p}dx$$

Спасибо, но как вы такое получили и что это означает?