Задача по теории вероятности. Распределение случ величины

[Henrylee]

vanoand в сообщении #662677 писал(а):

Ну $\eta = f(\xi_1, \xi_2)$, значит да, это многомерное распределение.

Значит, нет. Многомерное распределение имеет случайный вектор. У Вас такового нет, а есть одна случайная величина, являющаяся функцией от двух других. Ее функция распределения одномерна. Хотя и вычиляется как вероятность попадания в некоторую область некоторого случайного вектора.

[vanoand]

С цитированием определения я полностью соглашаюсь. Это равенство, естественно, верное :)

-- 23.12.2012, 23:06 --

Функция распределения одномерная, да. Ее ищем в виде $F_\eta(x)$. Но совместная плотность-то $p_\eta(s,t)$. Вопрос все-равно не в этом. У меня площади псевдотрапеций и треугольничков не сходятся.

-- 23.12.2012, 23:11 --

Кто-нибудь, пожалуйста, может посчитать, чему равно
$P(\frac{\xi_1}{\xi_2} < x, \xi_1+\xi_2<1) = \int_{s<xt, s+t<1, -1<s<2, 0<t<2}dsdt + \int_{s>xt, s+t<1, -1<s<2, -1<t<0}dsdt$

[Henrylee]

Да, теперь понял, что у Вас не сходится. Вот только картинка у меня другая вышла. Случай $s+t<1,\ s\leqslant xt,\ t>0$ подразумевает варианты $-\infty<x<-\frac12$ и $-\frac12<x<\infty$.

[--mS--]

Напрасно. Тут вариантов значений $x$, при которых области получаются разные, штук шесть, если не больше. Для самоубийства есть гораздо более простые способы. А сходиться тут абсолютно нечему: это всё ещё не функция распределения ни при одном иксе, а лишь её кусочек.

Но уже хорошо, что у ТС теперь сумма интегралов, а не один из них с чем-то не сходится. Ещё два таких же для второй вероятности, и в сумме будет наконец функция распределения.

vanoand, послушайте добрый совет. Запишите каждую вероятность в виде интеграла по области - одного. Например, первая вероятность у Вас есть $\iint\limits_{\frac{s}{t} < x, s+t <1} \frac19 \,ds\,dt$. Напишите рядом второй интеграл, посмотрите на них внимательно, и сложите. Перейдёте к одному интегралу по целому квадрату, а уж потом развлекайтесь с областями $s/t < x$.

[vanoand]

Так. При $x<-\frac{1}{2}$ у нас треугольничек. Дальше к этому треугольничку прибавляется еще один при х, растущем до 1. Затем от 1 до 2 еще один маленький, и наконец от 1 до бесконечности еще один. Почему тогда при переходе через 1 и 2 формула не меняется?

[Henrylee]

--mS-- в сообщении #662712 писал(а):

Напрасно. Тут вариантов значений $x$, при которых области получаются разные, штук шесть, если не больше.

В данном интеграле два. А не сходилось у ТС, как я понял, непрерывность такого интеграла как функции от $x$. Про Функцию распределения тут никто и не говорил еще.

[vanoand]

--mS-- в сообщении #662712 писал(а):

Напрасно. Тут вариантов значений $x$, при которых области получаются разные, штук шесть, если не больше. Для самоубийства есть гораздо более простые способы. А сходиться тут абсолютно нечему: это всё ещё не функция распределения ни при одном иксе, а лишь её кусочек.

Но уже хорошо, что у ТС теперь сумма интегралов, а не один из них с чем-то не сходится. Ещё два таких же для второй вероятности, и в сумме будет наконец функция распределения.

vanoand, послушайте добрый совет. Запишите каждую вероятность в виде интеграла по области - одного. Например, первая вероятность у Вас есть $\iint\limits_{\frac{s}{t} < x, s+t <1} \frac19 \,ds\,dt$. Напишите рядом второй интеграл, посмотрите на них внимательно, и сложите. Перейдёте к одному интегралу по целому квадрату, а уж потом развлекайтесь с областями $s/t < x$.

Да у меня с самого начала было 4 интеграла. Проблемы с их значениями: нарисуйте картинку, видно же что когда прямая отсекает разные фигурки, и минимальное значение большей фигурки должно быть равно максимальному меньшей. Это не из свойств ф.р. берется, а из картинки с фигурками. У меня в общем-то вопрос не по теории вероятности, а как нормально развлекаться с этими фигурками.

-- 23.12.2012, 23:56 --

Henrylee в сообщении #662721 писал(а):

--mS-- в сообщении #662712 писал(а):

Напрасно. Тут вариантов значений $x$, при которых области получаются разные, штук шесть, если не больше.

В данном интеграле два. А не сходилось у ТС, как я понял, непрерывность такого интеграла как функции от $x$. Про Функцию распределения тут никто и не говорил еще.

Да! Вы меня поняли! Только теперь я Вас не понимаю :( Посему всего 2 случая

[Henrylee]

vanoand в сообщении #662718 писал(а):

Так. При $x<-\frac{1}{2}$ у нас треугольничек. Дальше к этому треугольничку прибавляется еще один при х, растущем до 1.

Уже не понял. Начиная отсюда, трапеция плюс треугольник для всех $x$ вплоть до $\infty$.

А вообще прислушайтесь к совету --mS--

[vanoand]

Я с этими фигурками "развлекаюсь" второй день :( Я не вполне понимаю, как 2 случая совместить в один по большому квадрату. По маленьким у меня вечно ничего не сходится :(
А Вы точно правильно нарисовали? Я вижу трапецию + прямогульник только при х > 2

[Henrylee]

Все же допишу, раз уж речь об отдельных интегралах зашла:

$$ \left\{ \begin{array}{lr} -\frac1{2x},&-\infty<x\leqslant -\frac12\\ \frac{4x^2+7x+3}{2(x+1)^2},&-\frac12<x<\infty \end{array} \right. $$

(Оффтоп)

Да, делать мне больше нечего

[vanoand]

Спасибо огромное! У Вас, вроде бы, сходится.

[--mS--]

Я выше написала, как нормально развлекаться. Выбросить и решить задачу нормально.

А сумма этих интегралов, разумеется, является непрерывной функцией от $x$. Хотя совершенно не понимаю, что за большие и меньшие фигурки Вы хотите уравнять. При $x<-1/2$ первый интеграл - да, треугольник. С ростом $x$ (до бесконечности) превращается в четырёхугольник $1-s>t>0, s<xt, x>-1/2$. Второй интеграл равен при любом $x$ четырёхугольнику (трапеции), у которой одна из боковых сторон лежит на прямой $s=xt$ и площадь которого тоже растёт с ростом $x$.

Хотя больше я этой ерундой не занимаюсь. Вы читаете через строчку, а мне, извините, надоело повторяться. См. выше рецепт - что следует сделать, начиная со слов "напишите рядом...". Вы этого пока не сделали.

[Henrylee]

Henrylee в сообщении #662723 писал(а):

А вообще прислушайтесь к совету --mS--

Гм.. а от меня что-то ускользнуло понимание как объединить в квадрат. То ли ночное время сказывается..

[vanoand]

--mS-- в сообщении #662739 писал(а):

Я выше написала, как нормально развлекаться. Выбросить и решить задачу нормально.

А сумма этих интегралов, разумеется, является непрерывной функцией от $x$. Хотя совершенно не понимаю, что за большие и меньшие фигурки Вы хотите уравнять. При $x<-1/2$ первый интеграл - да, треугольник. С ростом $x$ (до бесконечности) превращается в четырёхугольник $1-s>t>0, s<xt, x>-1/2$. Второй интеграл равен при любом $x$ четырёхугольнику (трапеции), у которой одна из боковых сторон лежит на прямой $s=xt$ и площадь которого тоже растёт с ростом $x$.

Хотя больше я этой ерундой не занимаюсь. Вы читаете через строчку, а мне, извините, надоело повторяться. См. выше рецепт - что следует сделать, начиная со слов "напишите рядом...". Вы этого пока не сделали.

Спасибо, откуда трапеции, а не треугольники взялись, я поняла :) я случайно не тот случай, что Вы, рассматривала.
А как объединить в квадрат мне все же непонятно, хоть рядом и написаны два интеграла .

[--mS--]

Это будет очень сильно зависеть от того, в каких переменных и как ТС запишет второй интеграл. А он, похоже, не торопится этого делать.

Так и хочется съязвить на тему "вам шачечки или ехать?"

(Оффтоп)

Это у нас ночь - полпятого, а у Вас там вечер ;)

О, боже, теперь упёртость понятна. Сюда, сюда напишите оба интеграла.