Задача по теории вероятности. Распределение случ величины

[vanoand]

Даны 2 случайные величины $\xi_1 и $ \xi_2$ , равномерно распределенные на [-1, 2]. Найти распределение случайной величины, заданной следующим образом:
$ \eta = \frac{\xi_1}{\xi_2}, если \xi_1+\xi_2 < 1 $ и
$ \frac{\xi_2}{\xi_1}, если \xi_1+\xi_2 > 1$
Я понимаю, что нужно разбить каждый случай еще на 2: для отрицательных и положительных s и t. И нужно считать интегралы от совместной плотности, которая всегда равна $ \frac{1}{9}$. Но у меня никак не сходятся значения функции распределения слева и справа в точках смены формулы для функции распределения даже на промежуточных стадиях. Например, для положительных t при $ s + t < 1$

[--mS--]

Может, это оттого, что совместная плотность равна не $\frac13$, а $\frac19$?

Опс, исправили :) Ну тогда показывайте хоть какие-то вычисления, а то телепаты нынче в Сочи отдыхают.

[vanoand]

Уже поправлено :) Это описка. Тем более, какая разница, выносим константу за знак интегралов. У меня в точках, где формулы функции распределения меняются нет непрерывности, я уж не говорю про бесконечности.

[ИСН]

Рассмотрим величину - не Вашу, другую - которая принимает с равной вероятностью одно из двух значений: -1 и 1. Как выглядит её функция распределения? Непрерывна ли она?

[vanoand]

Хорошо :) Рассмотрим интеграл по $s < xt, s + t < 1, -1 < s < 2, 0 < t < 2$.
Это первый случай первого интеграла, когда знаменатель положительный. При $0 < x < 1$ у меня получается $2 + 2x$, при $1 < x < 2$
$ 6 - \frac{2}{x}$. При $ x > 2$ получается $\frac{9}{2} + \frac{5}{2(x+1)^2} - \frac{x}{2(x+1)^2} -\frac{1}{x+1}$

-- 23.12.2012, 21:32 --

ИСН в сообщении #662575 писал(а):

Рассмотрим величину - не Вашу, другую - которая принимает с равной вероятностью одно из двух значений: -1 и 1. Как выглядит её функция распределения? Непрерывна ли она?

Это вообще одномерное распределение. Обычное испытание Бернулли

-- 23.12.2012, 21:36 --

В общем, видно, что при х = 2 слева и справа значения разные :(

[--mS--]

А почему Вы решили, что этот интеграл будет равен искомой ф.р. хоть при каких-то $x$?

По определению

$$F_\eta(x) = \mathsf P(\eta<x) = \mathsf P\left(\frac{\xi_1}{\xi_2}<x, \, \xi_1+\xi_2 <1\right)+\mathsf P\left(\frac{\xi_2}{\xi_1}<x, \, \xi_1+\xi_2 >1\right).$$

Вы ищете даже не первое слагаемое! А только кусок того интеграла, который ему равен. Первое слагаемое есть интеграл по всем возможным $s$ и $t$, для которых $\frac{s}{t} < x$, $s+t < 1$, а Вы от этого интеграла отщепили только кусочек.

(Оффтоп)

Непрерывность тут, разумеется, должна быть. Просто по той причине, что для независимых с.в. - автор забыл об этом упомянуть, или просто для величин с совместным абсолютно непрерывным распределением, $\mathsf P(\eta=c)=0$ для всякого $c$. Интересное, кстати, замечание про "вообще одномерное распределение". А Вы ищете функцию распределения не "вообще одномерного распределения"?

[vanoand]

Я это прекрасно понимаю. У меня всего 4 случая. В каждом случае я считаю маленькие интегральчики, равные площадям фигур. Но согласитесь, даже когда я считаю первый маленький подслучай и получаю для разных х разные формулы у меня значения этих вот формул в граничных иксах должны совпадать. А у меня при подстановке 2 слева и справа получаются разные значения, что невозможно.

[--mS--]

Четыре случая для $x$?

[vanoand]

Нет-нет! 4 случая - это разные границы интегрирования:
1. $s<xt, s+t<1, -1<s<2, 0<t<2$
2. $s>xt, s+t<1, -1<s<2, -1<t<0$
3. $t<sx, s+t<1, -1<t<2, 0<s<2$
4. $t>sx, s+t<1, -1<t<2, -1<s<0$
Сколько там случаев для $ x $ я пока не знаю. у меня на этапе подсета интеграла 1 ничего не сходится

-- 23.12.2012, 22:19 --

Вот по этим 4 разным границам с переменным $ x $ интегрируем единицу. Далее на полученных промежутках для $ x $ суммируем ответы для каждого из 4 случаев, умножаем все это дело на $\frac{1}{9}$ и получаем искомую функцию распределения.

-- 23.12.2012, 22:28 --

--mS-- в сообщении #662588 писал(а):

А почему Вы решили, что этот интеграл будет равен искомой ф.р. хоть при каких-то $x$?

По определению

$$F_\eta(x) = \mathsf P(\eta<x) = \mathsf P\left(\frac{\xi_1}{\xi_2}<x, \, \xi_1+\xi_2 <1\right)+\mathsf P\left(\frac{\xi_2}{\xi_1}<x, \, \xi_1+\xi_2 >1\right).$$

Вы ищете даже не первое слагаемое! А только кусок того интеграла, который ему равен. Первое слагаемое есть интеграл по всем возможным $s$ и $t$, для которых $\frac{s}{t} < x$, $s+t < 1$, а Вы от этого интеграла отщепили только кусочек.

Непрерывность тут, разумеется, должна быть. Просто по той причине, что для независимых с.в. - автор забыл об этом упомянуть, или просто для величин с совместным абсолютно непрерывным распределением, $\mathsf P(\eta=c)=0$ для всякого $c$. Интересное, кстати, замечание про "вообще одномерное распределение". А Вы ищете функцию распределения не "вообще одномерного распределения"?[/off]

А я ищу функцию распределения для многомерного распределения :) Алгоритм решения задачек по одномерным дискретным с.в. и многомерным непрерывным разный.

[--mS--]

[vanoand]

Так что, форум не поможет страждущим? :(

[Henrylee]

vanoand в сообщении #662642 писал(а):

А я ищу функцию распределения для многомерного распределения :)

Это $\eta$-то имеет многомерное распределение?

(Оффтоп)

Первые два слова этой фразы нужно произносить быстро-быстро

[vanoand]

Ну $\eta = f(\xi_1, \xi_2)$, значит да, это многомерное распределение. Интегралы везде берем двойные по $(s,t)$, удовлетворяющим одному из 4 условий, описанных выше.

[Henrylee]

vanoand в сообщении #662670 писал(а):

Так что, форум не поможет страждущим? :(

Вам уже помогли:

--mS-- в сообщении #662588 писал(а):

По определению

$$F_\eta(x) = \mathsf P(\eta<x) = \mathsf P\left(\frac{\xi_1}{\xi_2}<x, \, \xi_1+\xi_2 <1\right)+\mathsf P\left(\frac{\xi_2}{\xi_1}<x, \, \xi_1+\xi_2 >1\right).$$

Первое слагаемое есть интеграл по всем возможным $s$ и $t$, для которых $\frac{s}{t} < x$, $s+t < 1$

[vanoand]

Но у меня-то вопрос немного по другой стадии решения :) У меня даже уже проделан следующий шаг: написали интегралы и в зависимости от положительности/отрицательности знаменателей s/t и t/s разбили их еще на 2.