Всеукраинская интернет-олимпиада 2012

[Keter]

1. Решить неравенство:

$$\log_{\frac{\pi}{2}} \arcsin \Big( 2y+1+\sqrt{4x^2-1} \Big)+\log_{\pi} \arccos \Big( y-x^2 \Big) \le 2.$$

2. При каких значениях параметра $a$ уравнения

$$4^{x+1}-3 \cdot 2^{x+3}=2^{x+4}-64 \quad \text{и} \quad 27^x-(a+30) \cdot 9^x +3^{x+4}=a \cdot (81-10 \cdot 3^{x+1})$$

равносильны?

3. Построить график функции $y=f \Big( g(x) \Big),$ где

$$f(x)= \begin{cases} 4, \quad \text{if} \quad |x| \le 3, \\ -4, \quad \text{if} \quad |x| > 3, \end{cases} \quad g(x)=\begin{cases} \bigg( \dfrac{3-2x-x^2}{27} \bigg)^{-\frac{1}{2}}, \quad \text{if} \quad x \in (-3; 1), \\ -1, \quad \text{if} \quad x \in [-5; -3] \cup [1; 5), \\ 2 \sin^2 x -5, \quad \text{if} \quad x \in (- \infty; -5) \cup [5; + \infty). \end{cases}$$

4. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$. Окружность, описанная возле треугольника $BCD$, пересекает сторону $AC$ в точке $M \ne C$. Окружность, описанная возле треугольника $ACD$, пересекает сторону $BC$ в точке $N \ne C$. Центром окружности, описанной возле треугольника $CMN$, является точка $O$. Найти всевозможные значения, которые может принимать величина угла между прямыми $OD$ и $AB$.

5. Футбольный турнир в один круг закончился тем, что наибольшее количество очков набрала команда, которая одержала меньше побед, чем любая другая команда. При этом за победу в игре присуждалось 2 очка, а при ничьей каждая команда получала по 1 очку. При каком наименьшем числе команд-участниц это возможно?

-- 22.12.2012, 16:43 --

Интересует геометрия. Прямой угол. Как доказать?

[Keter]

Решения всех задач напишу позже. Пока интересует только геометрия.

[Praded]

В первом "уравнении" задания 2 отсутствует знак $=$.

[Sergic Primazon]

Keter в сообщении #661944 писал(а):

Решения всех задач напишу позже. Пока интересует только геометрия.

$\angle BDN= \angle ADM = \angle C $ и $ \angle MON = 2 \angle C$

[TOTAL]

$O_1, O_2$ - центры окружностей, описанных около $DBC, DAC$ соответственно

$\angle O_1DO_2 = \angle BCA =\pi -\angle O_1OO_2$, поэтому $D, O_1, O, O_2$ лежат на одной окружности

$\angle BDO_1 = \pi/2 -\angle DCB$
$\angle ODO_1 = \angle OO_2O_1 = \angle DCB$
$\angle BDO = \angle BDO_1 + \angle ODO_1 = \pi/2$

[Keter]

1.

$$\arcsin \Big( 2y+1+\sqrt{4x^2-1} \Big) = \alpha, \quad \arccos \Big( y-x^2 \Big) = \beta.$$

$$\max \alpha = \dfrac{\pi}{2}, \max \beta = \pi \quad \Rightarrow \quad \forall \alpha, \beta >0 \quad \log_{\frac{\pi}{2}} \alpha + \log_{\pi} \beta \le 2.$$

То есть множеством решений данного неравенства будет множество, представляющее ОДЗ:

$$\begin{cases} 0< 2y+1+\sqrt{4x^2-1} \le 1, \\ -1 \le y-x^2 < 1, \end{cases} \quad \begin{cases} -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \sqrt{4x^2-1} < y \le -\dfrac{1}{2} \sqrt{4x^2-1}, \quad (1) \\ -1+x^2 \le y < 1+x^2. \quad (2) \end{cases}$$

Построим области $(1, 2)$ в координатной плоскости. Их пересечение и будет ОДЗ. Не сложно найти координаты точек на границах и получить ответ:

$x \in \bigg[-\dfrac{\sqrt2}{2}; -\dfrac{1}{2} \bigg) \cup \bigg( \dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt2}{2} \bigg], \quad y \in \bigg(-\dfrac{\sqrt2}{2}; 0 \bigg).$

-- 23.12.2012, 19:23 --

Praded
2. При каких значениях параметра $a$ уравнения

$$4^{x+1}-3 \cdot 2^{x+3}=2^{x+4}-64 \quad \text{и} \quad 27^x-(a+30) \cdot 9^x +3^{x+4}=a \cdot (81-10 \cdot 3^{x+1})$$

равносильны?

[Deggial]

Praded в сообщении #661981 писал(а):

первом "уравнении" задания 2 отсутствкет знак $=$.

Условие задачи 2 подправлено.

[Keter]

Deggial, спасибо.

[Face_2_Face]

Как успехи на олимпиаде?
Олимпиада вроде не очень сложная. :)
Думается, что в виде промежутка, как у вас в первой задаче, ответ записывать некорректно.

[Deggial]

Face_2_Face, замечание за бессодержательное сообщение

[Face_2_Face]

Deggial
прошу прощения, исправляюсь
я думаю, что решение первого неравенства - не промежуток, а часть координатной плоскости, или я ошибаюсь? на скорую руку заштрихованной осталась небольшая её часть.
Второе уравнение из задачки №2 легко преобразовывается к
$(3^x-3)(3^x-27)(3^x-a)=0$, после чего уже всё понятно.

[Keter]

Face_2_Face в сообщении #663539 писал(а):

я думаю, что решение первого неравенства - не промежуток

Подумайте еще.

Ну да. Вторая задача не сложная. $a \in (- \infty; 0] \cup \{ 3; 27 \}.$
Третья техническая. Но и там не сложно найти промежутки $x$, при которых $|g(x)| \le 3$, а при каких наоборот. Только где надо точки нарисовать $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \backslash \{ -2; \pm 1; 0 \}.$ И аккуратно выколоть $x=5$ вверху (а не в нижней части) при построении $f \Big( g(x) \Big).$
Четвертую уже решили.

Тут интерес только первая представляет.

[Face_2_Face]

Ну и, наконец, для пятой несложно доказать, что минимальное число команд - 6 ;)

(Оффтоп)

Но все-таки можете прояснить с промежутками? Почему можно заменить часть координатной плоскости (!) интервалом координатной прямой? Такой ответ принимался на олимпиаде как правильный?