Найти сумму ряда.

[alapt]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(n+1)}$

Разложил то, что стоит под суммой на простые дроби, получил

$\frac{1}{(2n-1)(n+1)} = \frac{2}{3\cdot(2n-1)} - \frac{1}{3\cdot(n+1)}$

Дальше, как я понимаю, надо это как-то преобразовать, но вот как...

[Limit79]

Могу ошибаться, но вроде как надо использовать формулу для суммы бесконечно-убывающей геометрической прогресси.

[alapt]

И где Вы, позвольте спросить, видите здесь геометрическую прогрессию? Я лично не вижу...

[ИСН]

Короче, надо что-то мутить с рядом Тейлора для логарифма.

[Sonic86]

Попытайтесь свести к ряду $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$, значение которого известно. Если знаете гармонические числа $H_M=\sum\limits_{n=1}^M\frac{1}{n}$, то выражайте частичную сумму через них - удобнее.
Достаточно простой и общий метод суммирования таких рядов что-то не могу вспомнить Но там бывают и страшные суммы, т.е. те, которые считаются только этими страшными методами (типа комплексный интеграл с арккотангенсом, у которого $\mathbb{Z}$ - множество вычетов, или операционное исчисление)
Я пример просто приведу, чтобы понятно было (из Градштейна и Рыжика):

$$\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(8k-1)(8k+1)}=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{16}(\sqrt{2}+1)$$

Т.е. в общем виде там все сложно, надо явно отталкиваться от свойств конкретных коэффициентов.

[Slumber]

$\frac{1}{3}(...+\frac{2}{2n-1}-\underline{\frac{2}{2n+2}+\frac{2}{2n+1}}-\underline{\frac{2}{2n+4}+\frac{2}{2n+3}}-\frac{2}{2n+6}+...) $
$2\ln2$ уже видно.

[nikvic]

Есть какие-то методы с превращением в ряд Тейлора и "организацией" дифф. уравнения...

[alapt]

Slumber в сообщении #662042 писал(а):

$\frac{1}{3}(...+\frac{2}{2n-1}-\underline{\frac{2}{2n+2}+\frac{2}{2n+1}}-\underline{\frac{2}{2n+4}+\frac{2}{2n+3}}-\frac{2}{2n+6}+...) $
$2\ln2$ уже видно.

А можно поподробнее? Откуда виден такой результат?

[Slumber]

Цитата:

А можно поподробнее? Откуда виден такой результат?

Стандартная схема - выписываете вподряд несколько штук, подставляя соответственно $n+1, n+2...$, затем пробуете группировать. Я знаю, что $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...=\ln2$. Я умножил ваше второе слагаемое на два.
Осталось подобрать и добавить-вычесть начало, потому, что он у нас начинается с $2n$.

[Arcanine]

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{3(2n-1)}-\frac{1}{3(n+1)}).$
Пусть $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2{x}^{2n-1}}{3(2n-1)}-\frac{{x}^{n+1}}{3(n+1)})},$ тогда $S=f(1),\ f(0)=0.$

[Slumber]

Проверитесь:$\frac{1}{3}(1+\ln4) = \frac{1}{3}(1+2\ln2)$, подтверждено Вольфрамычем.

$n=1$

$\frac{1}{3}(2 - (2-\frac{2}{4}) + (2-\frac{2}{4} + ...))$

----
минус, у меня опечатка была

[alapt]

Да, такой результат у меня и получился. Большое спасибо.