Два несобственных интеграла

[SpBTimes]

integral2009
производную вы неверно вычислили.

[integral2009]

Спасибо, исправил.

$I(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{\arctg(\alpha x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx$

$I'(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{xdx}{x(1+\alpha^2x^2)\sqrt{1-x^2}}=\int\limits_0^1\dfrac{dx}{(1+\alpha^2x^2)\sqrt{1-x^2}}$

$x=\cos t$

$I'(\alpha)=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{\sin tdt}{(1+\alpha^2\cos^2t)\sin t}=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{dt}{(1+\alpha^2\cos^2t)}=$

А как дальше?

[ИСН]

О, это неловкое ощущение ©, когда переходишь к тригонометрии, а потом сразу обратно.
$\tg t=\xi$ оставит у нас на руках рациональную функцию, например.

[ewert]

integral2009 в сообщении #661636 писал(а):

Да, я неправильно выразился -- не сходится он)

Он замечательно сходится. А вот второй раз дифференцировать его по параметру ни к чему. Вместо этого проинтегрируйте исходный интеграл один раз по частям -- получите почти то же самое, что и после дифференцирования по параметру. Но, конечно, только после того, как исправите ошибку дифференцирования.

[integral2009]

Спасибо, разобрался, сошлось с ответом!