УрЧП 1

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Вот такая задача : Показать, что если $u(t,x)$ решение уравнения $u_{tt} = u_{xx}$, то и функция $v(t,x) = u(\frac {t} {x^2 - t^2}, \frac {x} {x^2 - t^2}) $ будет являться решением этого уравнения.
Мне показалась, что это легкая задача. Решаем уравнение $u_{tt} = u_{xx}$ (1), тогда общее решение имеет вид : $u(x,t) = F(x+t) + G(x-t)$ (2). Пусть $u_0 (t,x)$ - решение, тогда $u_0 (t,x) = F_0 (x+t) + G_0 (x-t)$ $\Rightarrow$
$v(t,x) = u_0 (\frac {t} {x^2 - t^2}, \frac {x} {x^2 - t^2}) = F_0 (\frac {t} {x^2 - t^2} + \frac {x} {x^2 - t^2}) + G_0 (\frac {t} {x^2 - t^2} + \frac {x} {x^2 - t^2}) = F_0 (\frac 1 {x - t}) + G_0 (-\frac 1 {x+t})$.
Т е $v(t,x)$ имеет вид $v(t,x) = F(x+t) + G(x-t)$ $\Rightarrow$ $v(t,x)$ - решение. Вроде, все правильно. Но есть небольшой вопрос : у нас в общем решении (2) уравнения (1) не было условий на $t$ и $x$. Для нашей $v(t,x)$ есть условия на $t,x$ (из-за знаменателя). Это же не вредит решению задачи ($v(t,x)$ остается решением, но при некоторых условиях) ?