Еще один интеграл

[number_one]

Помогите, плиз, с таким интегралом.

$I(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2-a^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx$

Вот попытка:

$$I(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2+a^2-2a^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\;dx}_{\text{Дирихле}}-2a^2\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\dfrac{\pi}{4}-2a^2\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx$$

А как дальше?

Была еще такая идея:

$$I(a)=-\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{a^2+x^2-2x^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\;dx}_{\text{Дирихле}}+\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin xd(x^2+a^2)}{x^2+a^2}dx=\dfrac{\pi}{4}-\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\sin(x)d \big (\ln(x^2+a^2) \big)}_{I_1}$$

$$I_1=\sin x\cdot \ln(x^2+a^2) \Bigg|_0^{+\infty}-\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\cos(x) \big (\ln(x^2+a^2) \big)dx=\sin x\cdot \ln(x^2+a^2) \Bigg|_0^{+\infty}+\Bigg(\cos x\cdot \ln(x^2+a^2) \Bigg|_0^{+\infty}-$$

$$-\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\sin(x)d \big (\ln(x^2+a^2) \big)}_{I_1}\Bigg)$$

$$I_1=0,5\Bigg(\sin x\cdot \ln(x^2+a^2) \Bigg|_0^{+\infty}+\cos x\cdot \ln(x^2+a^2) \Bigg|_0^{+\infty}\Bigg)$$

Но ведь эти радости расходятся?

[ewert]

Ну, его надо распространить по чётности на всю ось, а потом откровенно по вычетам (с использованием леммы Жордана).

[number_one]

ewert в сообщении #661318 писал(а):

Ну, его надо распространить по чётности на всю ось, а потом откровенно по вычетам (с использованием леммы Жордана).

А можно ли как-то без использования Теории Функций Комплексного Переменного?

[nnosipov]

Сведите к интегралу $\int_0^\infty \frac{1}{x^2+1}\frac{\sin{ax}}{x}\,dx$, который вычислите дифференцированием по параметру.

[number_one]

nnosipov в сообщении #661394 писал(а):

Сведите к интегралу $\int_0^\infty \frac{1}{x^2+1}\frac{\sin{ax}}{x}\,dx$, который вычислите дифференцированием по параметру.

Спасибо.

$I(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2-a^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx$

$$I(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2+a^2-2a^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\;dx}_{\text{Дирихле}}-2a^2\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\dfrac{\pi}{4}-2a^2\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx}_{I_2(a)}$$

$I_2(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\Bigg|x=at\Bigg|=\dfrac{1}{a}\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt}_{I_3(a)}$

${I_3(a)}=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt$

${I_3'(a)}=a\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\cos (at)}{t}\;dt$

${I_3''(a)}=-a^2\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt$

$I_3''(a)=-a^2I(a)\;\;\;\;\;\;\;\;\;I_3(0)=0;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I'(0)=0$

$I_3''(a)+a^2I(a)=0$

$I_3=C_1\sin(a)+C_2\cos(a)$

$I_3(0)=C_2=0$

$I_3'(0)=\big(C_1\cos(a)-C_2\sin(a)\big)\Bigg|_{a=0}=C_1=0$

$I_3(a)=0$

$I(a)=\dfrac{\pi}{4}$

Верно?

[nnosipov]

number_one в сообщении #661403 писал(а):

Верно?

Нет. Найдите правильно $I_3'(a)$.

[ewert]

Тут совершенно ничего невозможно понять, и ответ, разумеется, неверен -- в него в любом случае должна войти экспонента. Если не ошибаюсь, должно получиться $\frac{\pi}2(-e^{-a}-1)$.

[number_one]

nnosipov в сообщении #661406 писал(а):

number_one в сообщении #661403 писал(а):

Верно?

Нет. Найдите правильно $I_3'(a)$.

${I_3(a)}=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt$

${I_3'(a)}=a\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{t^2+1}\cdot\dfrac{\cos (at)}{t}\;dt=\dfrac{a\pi}{2}e^{-|a|}\;\;\;\Big(\text{интеграл Лапласа, с ним уже однажды разобрался!!!}\Big)$

$I_3(a)=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int ae^{-|a|}da$

Но как-то смущает модуль...

-- 21.12.2012, 16:47 --

ewert в сообщении #661407 писал(а):

Тут совершенно ничего невозможно понять, и ответ, разумеется, неверен -- в него в любом случае должна войти экспонента. Если не ошибаюсь, должно получиться $\frac{\pi}2(-e^{-a}-1)$.

Уже что-то похожее получается!

[number_one]

$I_3(a)=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int ae^{-|a|}da$

1) $a<0$

$I_3(a)=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int ae^{a}da=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int ad\Big(e^{a}\Big)=\dfrac{\pi}{2} ae^{a}-\dfrac{\pi}{2}e^a+C_1$

$I_3(0)=0$ => $C_1=-\dfrac{\pi}{2}$

2) $a\geqslant 0$

$I_3(a)=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int ae^{-a}da=-\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int ad\Big(e^{-a}\Big)=-\dfrac{\pi}{2} ae^{-a}-\dfrac{\pi}{2}e^{-a}+C_2$

$I_3(0)=0$ => $C_2=\dfrac{\pi}{2}$

[number_one]

В итоге $I_3(a)=\Big(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2} ae^{-|a|}\Big)\operatorname{sgn}(a)-\dfrac{\pi}{2}e^{-|a|}$

[alcoholist]

number_one в сообщении #661429 писал(а):

${I_3'(a)}=a\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{t^2+1}\cdot\dfrac{\cos (at)}{t}\;dt=\dfrac{a\pi}{2}e^{-|a|}\;\;\;\Big(\text{интеграл Лапласа, с ним уже однажды разобрался!!!}\Big)$

nnosipov в сообщении #661406 писал(а):

Найдите правильно $I_3'(a)$

[number_one]

Спасибо!!

${I_3(a)}=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt$

${I_3'(a)}=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{t^2+1}\cdot\dfrac{\cos (at)}{t}\;dt=\dfrac{a\pi}{2}e^{-|a|}\;\;\;\Big(\text{интеграл Лапласа, с ним уже однажды разобрался!!!}\Big)$

$I_3(a)=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int e^{-|a|}da=-\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}+C$

$I(0)=C=0$

$$I_3(a)=-\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}$

Но в ответах нету $\operatorname{sgn}(a)$

У меня что-то неверно?

[number_one]

Ответ, почему-то такой: $\frac{\pi}2(e^{-|a|}-1)$.