Простое несепарабельное и конечное непростое расширения

[alex-omsk]

Что-то не совсем ясно.
1. Пример простого несепарабельного расширения.
Пусть $k$ - поле характеристики $p$.
$K=k(t)$ - поле рациональных функций над $k$.
$E=k(t^p) =\{\frac{f(t^p)}{g(t^p)} | f,g \in k[x]\}$.
Тогда $K=E(t)$. Рассмотрим расширение $K | E$.
$t$ - корень $f(x)=x^p-t^p=(x-t)^p$, но $f(x)$ неразложим в $E[x]$, так как если
$f(x) = u(x)v(x)$, то $u(x)=(x-t)^m=x^m-mtx^{m-1} + \dots + t^m$ не принадлежит $E[x]$.Следовательно, $f(x)$ - минимальный и имеет кратный корень. Таким образом элемент $t$ - не сепарабельный и расширение несепарабельно.
Вроде пока писал, понял что верно.
2. Пример конечного непростого.
$E=k(t^p,u^p) = \{\frac{f(t^p,u^p)}{g(t^p,u^p)}|f,g \in k[x]\}$
$K=k(t,u)=\{\frac{f(t,u)}{g(t,u)}| f,g \in k[x]\}$
$E=K(t,u)$. $t$ - корень $f(x)=x^p-t^p$, $u$ - корень $g(x)=x^p-u^p$. $f,g$ - минмальные в $E[x]$ для $t,u$.
Степень $|K:E|=p^2$. Вот тут не ясно, почему $K | E$ - непростое.

[alex-omsk]

Наверное дело в том, что если $E=E(\gamma)$, то $\gamma^p \in E$, следовательно $|E(\gamma):E| \leqslant p$.
Получаем противоречие.