Комфорные отображения

[ean]

Пытаюсь разобраться с примером из книжки "Теория функций комплексной переменной: Методы решения задач" Кравцова и Майкова. Пример 3.1 на странице 190, если книжка есть под рукой.
Нужно найти образ области $D:0<\operatorname{Im} z<1$ при отображении $w = \frac {z-i}{z+i}$.
Авторы обозначают $z=x+i \cdot y, w=u+i \cdot v$ и подставляют одну из прямых, ограничивающих область $y=0$ в преобразование и получают $w(x) = \frac {x^2-1}{x^2+1}-i \cdot \frac{2x}{x^2+1}$, а далее заключают, что эта прямая (окружность бесконечного радиуса) переходит в следующую окружность $u^2+v^2=1$, это, конечно, правильно $(\frac {x^2-1}{x^2+1})^2+(\frac{2x}{x^2+1})^2=1$, но не понятно откуда как сходу было получено такое заключение.
Аналогично и для прямой $y=1$ из $w(x+i) = \frac {x^2}{x^2+4}-i \cdot \frac{2x}{x^2+4}$ получают $(u-\frac{1}{2})^2+v^2=\frac{1}{4}$
Скажите, эти выкладки должны быть очевидны?

[Slumber]

Это дробно-линейное отображение, оно окружность переводит на окружность(круговое свойство), а прямая в $\mathbb{C}$ частный случай окружности. Это определяют, например, по точке - для отображения $\frac{az+b}{cz+d}$ - прямая перейдет в прямую, только если проходит через точку $z=-\frac{d}{c}$.
Почему берут ограничивающую область прямую - опять-таки по свойству, скажем, перевода симметричных точек в симметричные(относительно кривой $\Gamma$). Только там симметричность - немного не такая, как обычно.
Если нужно составить отображение, которое бы переводило что надо куда надо, там есть простая формула, куда подставялются три точки, в том числе и бесконечности.

-- 21.12.2012, 15:24 --

Ты вот это читал, да?
http://analysis.petrsu.ru/_docs/praktika.pdf
Там как раз твое отображение и перечислено, что по какому свойству.

[ewert]

ean в сообщении #661381 писал(а):

Скажите, эти выкладки должны быть очевидны?

Совершенно очевидно, что этих выкладок вообще не должно было бы быть; непонятно, чем авторы маются. Для образа вещественной оси очевидны две точки: образ нуля есть минус единица и образ бесконечности -- это единица. Подставив ещё $z=1$, получаем $w=\frac{1-i}{1+i}=-i$, и по этим трём точкам окружность очевидна: это $|w|=1$. Для верхней прямой чуть сложнее, но ненамного. Там тоже очевидны две точки образа: снова $w(\infty)=1$ и, кроме того, $w(i)=0$. С третьей точкой пришлось бы немножко повозиться, если бы не одно обстоятельство: вторая окружность не имеет права пересекать первую, а может разве что её касаться (в общем для них образе бесконечности, разумеется). Т.е. образ верхней прямой не может быть ничем иным, кроме как окружностью $|w-\frac12|=\frac12$.

Да, а насчёт этого:

ean в сообщении #661381 писал(а):

не понятно откуда как сходу было получено такое заключение.

-- скорее всего,авторы маленько сжульничали. Скорее всего, они получили результат примерно так, как написано у меня, а потом решили щегольнуть умением рисовать формулы.

[ean]

Уважаемые ewert и Slumber, вопрос именно к этому решению задачи. Сам я сделал задачу описанным вами, ewert, способом

[ewert]

ean в сообщении #661423 писал(а):

вопрос именно к этому решению задачи

Нет, этот переход заранее совсем не очевиден, особенно во втором случае. И если уж охота возиться с параметрическими описаниями, то гораздо сознательнее было бы вспомнить тригонометрию и сделать напрашивающуюся тогда подстановку $t=\tg x$ для первого случая и, соответственно, $t=2\tg x$ для второго; автоматически получатся стандартные параметризации этих окружностей.