Взаимно независимые события

[misha89]

Доброго времени суток.

Игральная кость брошена два раза. В первый раз выпало $X_1$ очков, во второй раз - $X_2$. Среди следующих событий найти все пары $\{A_i,A_j\}$, тройки $\{A_i,A_j ,A_k\}$ и т.д. взаимно независимых событий:

$$A_1 = \{X_1 \mbox{ делится на } 2, X_2 \mbox{ делится на } 3\},$$

$$A_2 = \{X_1 \mbox{ делится на } 3, X_2 \mbox{ делится на } 2\},$$

$$A_3 = \{X_1 \mbox{ делится на } X_2\}, A_4 = \{X_2 \mbox{ делится на } X_1\},$$

$$A_5 = \{X_1 + X_2 \mbox{ делится на } 2\}, A_6 = \{X_1 + X_2 \mbox{ делится на } 3\}.$$

Решение. Сначала выпишем все комбинации событий:

$$A_1 = \{(2, 3)(4, 3)(6, 3)(2, 6)(4, 6)(6, 6)\};$$

$$A_2 =\{(3, 2)(3, 4)(3, 6)(6, 2)(6, 4)(6, 6)\};$$

$$A_3 = \{(1,1)(2, 1)(2, 2)(3, 1)(3, 3)(4, 1)(4, 2)(4, 4)(5, 1)(5, 5)(6, 1)(6, 2)(6, 3)(6, 6)\};$$

$$A_4 = \{(1,1)(1, 2)(2, 2)(1, 3)(3, 3)(1, 4)(2, 4)(4, 4)(1, 5)(5, 5)(1, 6)(2, 6)(3, 6)(6, 6)\};$$

$$A_5 = \{(1, 1)(1, 3)(1, 5)(2, 2)(2, 4)(2, 6)(3, 1)(3, 3)(3, 5)(4, 2)$$

$$ (4, 4)(4, 6)(5, 1)(5, 3)(5, 5)(6, 2)(6, 4)(6, 6)\};$$

$$A_6 = \{(1, 2)(1, 5)(2, 1)(2, 4)(3, 3)(3, 6)(4, 2)(4, 5)(5, 1)(5,4)(6, 3)(6, 6)\}.$$

Теперь найдем вероятность каждого события:

$$P(A_1) =\frac{1}{6};$$

$$P(A_2) =\frac{1}{6};$$

$$P(A_3) =\frac{7}{18};$$

$$P(A_4) =\frac{7}{18};$$

$$P(A_5) =\frac{1}{2};$$

$$P(A_6) =\frac{1}{3}.$$

По определению события $A_1,\dots,A_n$ взаимно независимы, если

$$ P(\prod_{k=0}^n{A_k})=\prod_{k=0}^n{P(A_k)}.$$

Отсюда находим следующие пары:

$$P(A_1)P(A_2) = P(A_1A_2) = \frac{1}{36} \Longrightarrow \{A_1,A_2\} - \mbox{ пара взаимно независимых событий};$$

$$P(A_5)P(A_6) = P(A_5A_6) = \frac{1}{6} \Longrightarrow \{A_5,A_6\} - \mbox{ пара взаимно независимых событий};$$

$$P(A_1)P(A_5) = P(A_1A_5) = \frac{1}{12} \Longrightarrow \{A_1,A_5\} - \mbox{ пара взаимно независимых событий};$$

$$P(A_1)P(A_6) = P(A_1A_6) = \frac{1}{18} \Longrightarrow \{A_1,A_6\} - \mbox{ пара взаимно независимых событий};$$

Аналогично $\{A_2,A_5\},\{A_2,A_6\}$ пары взаимно независимых событий.

Шестерки взаимно независимых событий нет, т.к. среди всех вариантов событий общая пара очков только (6,6).

$$P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4)P(A_5)P(A_6)\ne P(A_1A_2A_3A_4A_5A_6).$$

Пятерок взаимно независимых событий нет, т.к. среди всех вариантов общая пара снова только (6,6).

$$P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4)P(A_5)\ne P(A_1A_2A_3A_4A_5).$$

Это верно для любых комбинаций, не только для $\{A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\}$.
Для четверок также нет групп взаимно независимых событий.

Пример для четверок:

$$P(A_3)P(A_4)P(A_5)P(A_6)=\frac{169}{7776};$$

$$P(A_3A_4A_5A_6)=\frac{1}{18} - \mbox{ общие } (3,3), (6,6);$$

$$P(A_3)P(A_4)P(A_5)P(A_6)\ne P(A_3A_4A_5A_6).$$

Среди троек событий действительно есть пара троек взаимно независимых. Не сразу заметил, хотя это было очевидно. Общая пара чисел, выпавших на костях - это (6,6).

$$P(A_1)P(A_5)P(A_6) = P(A_1A_5A_6) = \frac{1}{36} \Longrightarrow \{A_1,A_5,A_6\} -$$

тройка взаимно независимых событий;

$$P(A_2)P(A_5)P(A_6) = P(A_2A_5A_6) = \frac{1}{36} \Longrightarrow \{A_2,A_5,A_6\} - $$

тройка взаимно независимых событий.

Собственно вот в чем проблема: мне говорят, что есть еще взаимно независимые, но я не могу их найти. Подскажите, пожалуйста.

[--mS--]

Даже не вникая в текст, могу предположить, что половина из найдённых наборов событий не явяется наборами взаимно независимых ("независимых в совокупности") событий.

Согласно тому неправильному определению, что Вы приводите, взаимно независимыми будут, например, события $A,\, A,\, A,\, \varnothing$, даже если событие $A$ зависит от себя, как обычно и бывает.

Найдите в учебнике правильное определение.

-- Пт дек 21, 2012 01:33:04 --

А, ну попарная независимость событий из двух найденных троек выше проверена, так что ничего страшного от неправильного определения не случилось. Но могло.
Больше тут независимых событий нет: третье и четвёртое никуда входить не могут, слишком у них экзотические вероятности (если правильно посчитали). Первое со вторым имеют слишком маленькое пересечение, чтобы можно было ещё хоть одно событие добавить в эту пару.

[AKM]

misha89,

правильно расставив доллары в формулах (что Вы корректно сделали), не следует ещё и расставлять тэги [mаth]: они расставятся автоматически. Объяснялка здесь.