Помогите дорешать задачу по теорверу

[Gaary_P]

Задача
Владелец сезонного железнодорожного билета обычно выезжает из дома между 7.30 и 8.00 утра; поездка длится от 20 до 30 минут. Предполагается, что время выхода и продолжительность поездки представляют собой независимые случайные величины, равномерно распределенные в соответствующих интервалах. Имеются два поезда, которыми он может ехать: первый отправляется в 8.05 и идет 35 минут, второй в 8.25 и идет 30 минут. Предполагая, что он выезжает одним из этих поездов, определить среднее время его прибытия к месту назначения.



Решение
Время выхода $x$ равномерно распределена на $[7,5;8]$
Время в пути $y$ равномерно распределена на $[1/3;1/2]$
Время прибытия $z$ равно:
1) $z=8.40$, если $x+y<8.05$
2) $z=8.55$, если $8.05 \leqslant x+y<8.25$

Необходимо найти $ M(z|x+y<8,25)$:
$ M(z|x+y<8,25)=$
$=8,40 \cdot P(z=8.40|x+y<8.25)+8.55 \cdot P(z=8.55|x+y<8.25) $

Вот как найти эти условные вероятности?
И еще, вопрос, вот если он выедет из дома в 8:00 и будет ехать 30 минут, то он не успевает ни на один поезд, где это учесть?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Наберите формулы ТеХом, как написано здесь, после чего сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[gris]

Я думаю, они нападут сзади это можно сделать геометрически.
Но маленький уголок прямоугольника срезать, так как сказано: "в предположении, что он уезжает одним из этих поездов". Если хотите, то это ещё одно внешнее условие. То есть владелец уезжает и делает это исключительно на этих поездах.
Правда составители могли запросто пропустить такую мелочь.

[masterflomaster]

А можно ли здесь воспользоваться тем фактом, что математическое ожидание случайной величины равномерно распределенной на отрезке равняется половине этого отрезка? т.е. пусть $t_1$ время выезда из дому, $t_2$ - время поездки, то $M[t_1] = $ 7 ч. 45 м. , а $M[t_2] = $ 25 м. Т.к. $t_1$ и $t_2$ независимы, то можно найти мат. ожидание времени, к которому пассажир доберется до вокзала ($t_3$): $M[t_3] = M[t_1] + M[t_2] = $ 8 ч. 10 м. Раз он в среднем будет опаздывать на первый поезд то его не учитываем)

С концовкой, я конечно загнул (её нужно все-таки как-то через условное мат. ожидание искать). Но $t_3$, по-моему, было вычислено верно.

-- 19.12.2012, 22:08 --

$M(\xi|B) = \frac{1}{P(B)}M\{\xi, B\}$ условная вероятность. Но не очень понятен смысл $M\{\xi, B\}$ и как найти $P(B)$?

[--mS--]

Gaary_P в сообщении #657144 писал(а):

Предполагая, что он выезжает одним из этих поездов, определить среднее время его прибытия к месту назначения.

Необходимо найти $ M(z|x+y<8,25)$:
$ M(z|x+y<8,25)=$
$=8,40 \cdot P(z=8.40|x+y<8.25)+8.55 \cdot P(z=8.55|x+y<8.25) $

Вот как найти эти условные вероятности?
И еще, вопрос, вот если он выедет из дома в 8:00 и будет ехать 30 минут, то он не успевает ни на один поезд, где это учесть?

Вы уже учли это: Вы же ищете условное математическое ожидание в предположении, что он успевает хотя бы на последний, т.е. $x+y<8.25$.

Повторю ещё раз совет от gris: используйте геометрическую вероятность для точки $(x,y)$, наудачу выбранной в прямоугольнике. Событие $\{z=8.40\}$ - это событие $\{x+y < 8.05\}$, ну и по определению

$$\mathsf P(x+y < 8.05 \,|\, x+y<8.25) = \dfrac{\mathsf P(x+y < 8.05,\, x+y<8.25)}{\mathsf P(x+y<8.25)} = \ldots $$

[Cash]

Gaary_P

Еще один момент. Если у Вас 7.30 утра соответствует $7{,}5$, то почему 8.05 и 8.25 вы переводите в $8{,}05$ и $8{,}25$?